Funktionen untersuchen

Autor: Malle, Guenther
Titel: Mathe-Welt: Wann treffen wir einander? Ueben.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2000) 103, S. 1–24

Abstract: Der Schueler soll in diesem Arbeitsheft lernen, Bewegungsvorgaenge graphisch darzustellen und anhand dieser Darstellungen vorgegebene oder von ihm selbst gestellte Fragen zu beantworten. Dabei lernt er auch, solche graphischen Darstellungen richtig zu lesen. Am Schluss des Heftes wird er erkennen, dass man die gestellten Fragen mit Hilfe von einfachen Formeln beantworten kann.

Schlagwörter: Textaufgabe, Geschwindigkeit, Selbsttätigkeit, Mechanik, Arbeitsheft, Größe

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Autor: Malle, Guenther
Titel: Funktionen untersuchen – ein durchgaengiges Thema.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2000) 103, S. 4–7

Abstract: Wenn von Funktionsuntersuchungen die Rede ist, denken viele wohl in erster Linie an die traditionellen Kurvendiskussionen, die ueblicherweise im 11. Schuljahr im Rahmen der Differentialrechnung durchgefuehrt werden. Doch sind Funktionsuntersuchungen schon viel frueher und ganz ohne Differentialrechnung moeglich, sie bilden in einem gewissen Sinne sogar einen roten Faden durch die gesamte Schulmathematik. Dieser rote Faden soll in diesem Heft angedeutet werden. In einem weiten Sinne versteht man unter einer Funktionsuntersuchung die Untersuchung einer Abhaengigkeit zwischen Groessen, wobei dieser Prozess in zwei Teilprozesse zerfaellt. Im ersten Schritt wird die zu untersuchende Abhaengigkeit dargestellt (zum Beispiel als Tabelle, Formel, Graph, Flussdiagramm, ...), im zweiten Schritt erfolgt eine Interpretation dieser Darstellung, das heisst, aus ihr wird Bestimmtes herausgelesen und in der jeweiligen Situation gedeutet. In einem engeren Sinne wird unter einer Funktionsuntersuchung nur der zweite Schritt, also die Interpretation einer vorliegenden Darstellung verstanden. In diesem Heft wird der Schwerpunkt ebenfalls auf diesen zweiten Schritt gelegt, doch soll der erste Schritt nicht ausgeschlossen werden, wenn er aus irgendeinem Grunde sinnvoll erscheint. (Aus der Einleitung).

Schlagwörter: Fundamentale Idee, Unterrichtsplanung, '>Funktion $,\; Einstieg,\; Sekundarstufe\; I$

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Autor: Malle, Guenther
Titel: Zwei Aspekte von Funktionen: Zuordnung und Kovariation. Sekundarstufe I/II, 5.-13. Schuljahr.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2000) 103, S. 8–11

Abstract: Jede Funktion f:x->f(x) weist zwei fundamentale Aspekte auf: Zuordnung: Jedem x wird genau ein f(x) zugeordnet. Kovariation: Wird x veraendert, so aendert sich f(x) in einer bestimmten Weise und umgekehrt. Empirische Untersuchungen zeigen jedoch immer wieder, dass im Bewusstsein der Schuelerinnen und Schueler sowohl der Zuordnungsaspekt als auch der Kovariationsaspekt unterentwickelt sind. Besondere Defizite sind in Hinblick auf den Kovariationsaspekt zu verzeichnen, der oft so gut wie nicht verfuegbar ist. Dieser Aspekt ist eng an den Veraenderlichenaspekt von Variablen gekoppelt, der ebenfalls haeufig fehlt. Auf einer dieser Untersuchungen wird hier exemplarisch etwas naeher eingegangen. In letzter Zeit wurden einige Versuche unternommen, Lernsoftware herzustellen, die helfen soll, den Zuordnungs- und Kovariationsaspekt von Funktionen zu erfassen. Zwei interessante Programme werden hier kurz besprochen: Random Grapher und Dynagraph.

Schlagwörter: '>Funktion , Software, Unterrichtsmethode, Sekundarstufe II, Einstieg, Mathematikunterricht, Sekundarstufe I, Mathematik

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Autor: Ulovec, Andreas
Titel: Wie schwer bin ich auf dem Jupiter? Sekundarstufe I, 6. Schuljahr.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2000) 103, S. 12–14

Abstract: Der Weltraum fasziniert – und gibt Gelegenheit, anhand von Tabellen, Formeln und Graphen Proportionalitaeten schon frueh auf intuitive Weise zu untersuchen, ohne die Worte Proportionalitaet oder Funktion zu gebrauchen. (orig.).

Schlagwörter: Schaubild, Schuljahr 06, Lineare Funktion, Astronomie, Proportionalität, Sekundarstufe I, Angewandte Mathematik

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Autor: Schloeglhofer, Franz
Titel: Vom Foto-Graph zum Funktions-Graph. Sekundarstufe I, 7./8. Schuljahr.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2000) 103, S. 16–17

Abstract: Fehlinterpretationen von Funktionsgraphen sind so weit verbreitet, dass es sich auszahlt, bewusst etwas dagegen zu unternehmen. Hierzu wird eine Kopiervorlage vorgestellt, auf der Realsituationen dargestellt und jeweils verschiedene Funktionsgraphen angeboten werden. Von diesen sollen die Schuelerinnen und Schueler jenen auswaehlen, der ihrer Meinung nach die Situation am besten beschreibt. Listigerweise befindet sich jedesmal ein Graph darunter, der eine fotografische Aehnlichkeit mit der Realsituation aufweist, jedoch nicht der richtige Graph ist. Es wird also bewusst angestrebt, die Schuelerinnen und Schueler in eine Falle hineintappen zu lassen. Anschliessend kann man im Unterricht herausarbeiten, warum dies nicht der passende Graph ist und der richtige Graph kann in einem gemeinsamen Gespraech herausgesucht werden. So wird ein wichtiger Beitrag zum Verstaendnis von Funktionsgraphen geleistet.

Schlagwörter: Schaubild, Unterrichtseinheit, Schuljahr 07, Schuljahr 08, Sekundarstufe I

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Autor: Herget, Wilfried; Malitte, Elvira; Richter, Karin
Titel: Ueber Funktionen sprechen! Sekundarstufe I/II, 7.-11. Schuljahr.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2000) 103, S. 18–21

Abstract: Im Teil 4 seines Werkes Astronomia nova (1609) formuliert und begruendet Kepler (1571–1630) seine Erkenntnis ueber die Bahn des Planeten Mars um die Sonne: Die Bahn des Planeten Mars ist eine Ellipse. Dabei benutzt er bereits (so wie wir heute auch noch) verschiedene Werkzeuge – Grafik, Tabelle, Sprache -, um einen funktionalen Zusammenhang zu beschreiben und zu untersuchen. In dieser dreischichtigen Einheit, in der die sprachliche Ausformulierung den entscheidenden, vermittelnden und erlaeuternden Teil innehat, beschreibt Kepler praezise den komplizierten Zusammenhang zwischen Zeit und raeumlichen Koordinaten der Marsbahn. So, wie hier von Kepler am Beispiel eines schwierigen mathematischen Problems demonstriert, sind es durchaus auch die Schuelerinnen und Schueler gewohnt, verschiedene Darstellungs- und Beschreibungsmittel zu nutzen. Aber dies geschieht in der Regel eher unbewusst und allein einem gezielten Auftrag folgend. Deshalb geht es hier darum, den Wert unterschiedlicher Darstellungsweisen bewusst werden zu lassen: Im Zentrum steht zunaechst die sprachliche Beschreibung, die sich schliesslich als eher unscharf und meist auch sehr aufwaendig erweist – und so ergibt sich der Wunsch nach einer angemessenen Ergaenzung und Ausschaerfung durch formalere, durch mathematische Darstellungen.

Schlagwörter: Fundamentale Idee, Unterrichtseinheit, '>Funktion $,\; Unterrichtsmethode,\; Einstieg$

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Autor: Moessner, Andre
Titel: Funktionen dynamisch untersuchen. Sekundarstufe I/II, 8.-13. Schuljahr.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2000) 103, S. 22, 47–50

Abstract: In diesem Beitrag zeige ich anhand verschiedener Beispiele, wie sich Funktionen dynamisch untersuchen lassen. Als Werkzeug ist ein Grafikrechner erforderlich. Sind Computer und geeignete Software verfuegbar, geht es noch bequemer und illustrativer. Am Schluss stelle ich dazu die mathematisch-didaktische Software MacFunktion kurz vor. (orig.).

Schlagwörter: Software, '>Funktion $,\; Computer,\; Unterrichtsmethode,\; Mathematikunterricht,\; Mathematik,\; Grafischer\; Taschenrechner,\; Unterrichtsmedien$

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Autor: Lercher, Ulrike
Titel: Untersuchung der Linsengleichung mit DERIVE. Sekundarstufe II, 11. Schuljahr.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2000) 103, S. 51–55

Abstract: In einer Gleichung stecken meist viele Funktionen. Mithilfe des Computers kann man algebraische und grafische Darstellungen dieser Funktionen untersuchen und so die zugrunde liegende reale Situation explorieren und tiefere Einsichten erhalten. (orig.).

Schlagwörter: Computer-Algebra-System, Schuljahr 11, Sekundarstufe II, Optik, Kurvendiskussion, Physik, Unterrichtsmedien

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Autor: Malle, Guenther
Titel: Funktionsuntersuchungen mit Differentialrechnung. Sekundarstufe II, 11. Schuljahr.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2000) 103, S. 56–59

Abstract: Die Autoren vertreten die Meinung, dass Kurvendiskussionen in der weit verbreiteten und stark schematisierten Form nicht mehr zeitgemaess seien, sie aber deshalb nicht gleich abgeschafft werden muessten. Fuer ihre Beibehaltung geben sie drei Gruende an: 1. Anwendungen der Differentialrechnung: Solange die Differentialrechnung noch unterrichtet wird, wird man auch Anwendungen brauchen, um zu demonstrieren, dass man mit dem Gelernten etwas Brauchbares anfangen kann (Demonstration der Kraft des Kalkuels). Bei diesen Anwendungen geht es in vielen Faellen darum, Funktionen mithilfe der Methoden der Differentialrechnung zu untersuchen. 2. Rasches Skizzieren des Funktionsgraphen und 3. Herleitung theoretischer Ergebnisse: Es gibt theoretisch interessante Ergebnisse, die mit Differentialrechnung sehr leicht hergeleitet werden koennen, ohne sie aber nicht oder nur auf sehr umstaendliche Weise zu erreichen sind. Anschliessend geben die Autoren Beispiele, wie man Kurvendiskussionen anders behandeln kann, so dass sie z. B. den Charakter von Beweisaufgaben erhalten. Im zweiten Teil der Arbeit ueber Extremwertaufgaben argumentieren sie aehnlich.

Schlagwörter: Schuljahr 11, Differenzialrechnung, Unterrichtsmethode, Sekundarstufe II, Kurvendiskussion

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Autor: Buerger, Heinrich; Malle, Guenther
Titel: Eine Chance, argumentieren zu lernen. Sekundarstufe II, 11. Schuljahr.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2000) 103, S. 60–64

Abstract: Die Autoren zeigen, dass Untersuchungen an Funktionen (Monotonie, Extremstellen, Kruemmung, Wendepunkte) eine besonders gute Gelegenheit bieten, argumentieren zu lernen.

Schlagwörter: Schaubild, Unterrichtsziel, Differenzialrechnung, Unterrichtsmethode, Argumentation, Mathematikunterricht, Kurvendiskussion

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