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Wege zum Beweisen

mathematik lehren Nr. 155/2009

Erscheinungsdatum:
August 2009
Schulfach / Lernbereich:
Mathematik
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Die solide Begründung einer Aussage oder das korrekte Argument für die Gültigkeit einer Behauptung ist essentiell für jede Art des Problemlösens. Beweisen heißt nicht nur, nach der Wahrheit zu suchen, sondern auch, Beziehungen zu erklären oder Wissen zu kommunizieren. Allerdings muss man die Schülerinnen und Schüler an ein solches Arbeiten heranführen und dabei geeignete Beispiele auswählen, ezielte und gestufte Hilfen an bieten und die Eigentätigkeit stärken.

Hier setzen die Beiträge des Themenhefts ein. Sie sollen zu einem Unterricht anregen, in dem das Beweisen (nicht nur in der Geometrie) wieder die ihm zustehende, wesentliche Rolle spielt. Die Beispiele aus unterschiedlichen Klassen und Themengebieten zeigen, wie die praktische Umsetzung aussieht und wie man Schülerinnen und Schüler für diese genuin mathematische Tätigkeit begeistern kann.

Aus dem Inhalt:

  • Beweisen – was ist das?
    Gesprächs-"Rahmen" und Reflexionsanlässe schaffen
  • Probleme lösen und Begründungen finden
    Wie viele Steine hat die 2009-te Pyramide
  • Bewusstes Argumentieren
    Begründungsaufgaben zum "Pythagoras"

Bitte beachten Sie auch die Downloads zu diesem Heft:

  • In der zip-Datei "visuell_dynamische_Puzzles" finden Sie DynaGeo Dateien zum Beitrag "Mit dem Computer anschaulich beweisen" von Hans-Jürgen Elschenbroich.
  • Die zip-Datei "Beweis_Satz_des_Thales" enthält die GeoGebra-Dateien zu den Arbeitsblättern des Beitrags "… mehr als nur eine Lösung formulieren" von Stefan Ufer und Aiso Heinze.
  • Die GeoNext-Datei "Bewusst_Argumentieren_Pythagoras" beziehen sich auf den Beitrag "Bewusstes Argumentieren" von Tobias Jaschke und kann bei Aufgabe 12 und Aufgabe 18 eingesetzt werden.

Downloads 5

Abstract

Autor: Reiss, Kristina
Titel: Wege zum Beweisen. Einen Habit of Mind im Mathematikunterricht etablieren.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 155, S. 4–10

Abstract: Zusammenfassung nach Verlagsinformation: Beweise sind ein zentrales Element der Mathematik. Ein Unterricht, in dem Schülerinnen und Schüler mathematisch arbeiten bietet viele Gelegenheiten, Beispiele zu untersuchen, sinnvolle Aussagen und Hypothesen zu formulieren, logische Schüsse zu ziehen, zu begründen und zu argumentieren – oder kurz; eine Kultur des Beweisens zu entwickeln. Der Beitrag zeigt, wie Mathematiker beim Beweisen vorgehen und wie dieses Schritte beim Beweisen in den Unterricht übertragen werden können.

Schlagwörter: Beweisen, Untersuchung, Beweis, Unterrichtsanalyse, Unterrichtsplanung, Unterrichtsziel, Arbeitsbogen, Unterrichtsmedien, Argumentation, Mathematikunterricht, Mathematik, Logik


Autor: Kuntze, Sebastian
Titel: Beweisen – was ist das? Gesprächs-Rahmen und Reflexionsanlässe schaffen.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 155, S. 12–17

Abstract: Zusammenfassung nach Verlagsinformation: Wissen über Formen des Argumentierens ist entscheidend und kann gezielt gefördert werden. Vorgestellt werden Tipps und Materialien, die Schülerinnen und Schüler anregen und dabei unterstützen können, ein gut fundiertes eigenes Bild des Was, Warum und Wie des Beweisens aufzubauen.

Schlagwörter: Beweisen, Beweis, Diskussion, Unterrichtsanalyse, Unterrichtsgespräch, Lehren, Arbeitsbogen, Unterrichtsmedien, Argumentation, Mathematikunterricht, Reflexion


Autor: Hammer, Christoph
Titel: Vom Argument zum Beweis. Logische Begründungen und präformale Beweise.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 155, S. 18–21

Abstract: Zusammenfassung nach Verlagsinformation: An Beispielen aus der Unter- und Mittelstufe wird gezeigt, wie Schülerinnen und Schüler an schlüssiges Argumentieren herangeführt werden können. Grafische Darstellungen und suggestive Texte aus der Zeitung bilden Anlässe für mathematische Argumentationen. Auch zu innermathematischen Problemen werden logisch korrekte Begründungen und präformale Beweise entwickelt.

Schlagwörter: Beweisen, Beweis, Unterrichtsanalyse, Zeitungsartikel, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Schüleraktivität, Lehrmethode, Lehren, Arbeitsbogen, Unterrichtsmedien, Argumentation, Visualisieren, Mathematikunterricht, Realia


Autor: Lorbeer, Werner; Reiss, Kristina
Titel: Probleme lösen und Begründungen finden. Wie viele Steine hat die 2009-te Pyramide?
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 155, S. 22–26

Abstract: Bericht über eine Unterrichtsstunde in einer 9. Klasse, bei der die selbstständige Wissenskonstruktion der Lernenden im Vordergrund steht. In Kleingruppen bearbeiten die Schülerinnen und Schüler das Problem, wie viele Lego-Steine für den Bau einer Hohlstufenpyramide mit einer hohen Stufenzahl benötigt werden. Dem handlungsorientierten Einstieg (Operieren mit konkretem Material) folgt eine schrittweise Formalisierung. Der Unterrichtsverlauf zeigt, wie sich Aspekte des Problemlösens und Beweisen ergänzen können, macht aber auch Grenzen der Gruppe als Arbeitsform deutlich.

Schlagwörter: Beweisen, Unabhängigkeit, Beweis, Erfahrungsbericht, 9. Schuljahr, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Lehrerrolle, Schüler-Schüler-Interaktion, Schüleraktivität, Lehrmethode, Gruppenarbeit, Unterrichtseinheit, Argumentation, Mathematikunterricht, Arbeit


Autor: Pinkernell, Guido; Burczyk, Stefanie; Lotter, Anke; Bruder, Regina
Titel: Mathe Welt. Beweisen lernen.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 155, S. 26–42

Abstract: Das Arbeitsheft für Schülerinnen und Schüler ab der 8. Klassenstufe versteht sich als Lehrgang, der das Beweisen anhand von typischen Begriffen, Verfahren und Argumentationsmustern nahe bringen will. Dabei wird Wert darauf gelegt, ohne übertriebenen Formalismus deutlich zu machen, dass es beim mathematischen Beweisen darum geht, eine Behauptung nur unter Bezug auf die gegebenen Voraussetzungen, vorher Gesetztes und schon Bewiesenes logisch zu begründen. Das Heft ist so konzipiert, dass die Schülerinnen und Schüler es selbstständig durcharbeiten können. Es gliedert sich in drei Kapitel: Begriffe, Regeln und Kniffe; Logische Schlüsse ziehen; Direkter und indirekter Beweis. Empfohlen wird, die Bearbeitung der gemischten Übungsaufgaben auf den letzten Seiten in Gruppen durchzuführen, um einen Austausch von Lösungsideen zu ermöglichen.

Schlagwörter: Beweisen, Unabhängigkeit, Beweis, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Gruppenarbeit, Übungsbuch, Arbeitsbuch, Unterrichtsmedien, Argumentation, Indirekter Beweis, Mathematikunterricht, Logik, Arbeit, Kursangebot


Autor: Ufer, Stefan; Heinze, Aiso
Titel: ... mehr als nur die Lösung formulieren. Phasen des geometrischen Beweisprozesses aufzeigen.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 155, S. 43–49

Abstract: Es wird gezeigt, wie Schülerinnen und Schüler das geometrische Beweisen als einen Prozess kennen lernen können, der vom Finden einer Vermutung über das Generieren einer Beweisidee zur Formulierung des Beweises führt. Anhand von Beispielen (Untersuchungen am Dreieck, Satz von Thales) werden Beweisstrategien und Teilaktivitäten erläutert. Der Beitrag enthält eine ausführliche Anleitung in Karteikartenformat, mit der die Lernenden einen Beweis zu Parallelogrammen selbstständig und mit anschließendem Partnercheck erarbeiten können.

Schlagwörter: Beweis, Unterrichtsanalyse, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Schüleraktivität, Entdeckendes Lernen, Unterrichtsplanung, Unterrichtsmethode, Arbeitsbogen, Unterrichtsmedien, Thales-Satz, Geometrie, Dreieck, Mathematikunterricht, Parallelogramm


Autor: Jaschke, Tobias
Titel: Bewusstes Argumentieren. Begründungsaufgaben zum Pythagoras.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 155, S. 50–56

Abstract: Begründungstätigkeiten im Unterricht müssen an konkreten Inhalten bewusst eingeplant, durchgeführt und überprüft werden. Der Beitrag reflektiert, welche didaktischen Überlegungen und Vorbereitungen bei der Unterrichtsplanung argumentative Prozesse in Gang bringen können. Eine Reihe von Leitfragen und Aufgaben zum Satz des Pythagoras zeigen exemplarisch, wie man vorgehen kann.

Schlagwörter: Problemstellung, Beweis, Unterrichtsanalyse, 9. Schuljahr, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Lehren, Unterrichtsplanung, Arbeitsbogen, Unterrichtsmedien, Argumentation, Mathematikunterricht, Pythagoräischer Lehrsatz


Autor: Elschenbroich, Hans-Jürgen
Titel: Mit dem Computer anschaulich beweisen. Beweisen mit visuell-dynamischen Puzzles.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 155, S. 58–61

Abstract: Zusammenfassung nach Verlagsinformation: Handlungsorientierte oder visuelle Beweise bieten einen schülergemäßen Ansatz, im Bereich der Geometrie das Argumentieren und Begründen zu entwickeln. Gerade das Ergänzen oder Zerlegen und neu Zusammensetzen von Zeichnungen eignet sich hierfür gut. Dynamische Visualisierungen helfen beim Finden und Überprüfen von Vermutungen und bieten sinnvoll aufgebaut – Wege zur Erarbeitung tragfähiger Argumentationen.

Schlagwörter: Beweisen, Interaktivität, Theorie, Beweis, Problemlösen, 8. Schuljahr, 9. Schuljahr, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Schüleraktivität, Entdeckendes Lernen, Computerunterstützter Unterricht, Argumentation, Visualisieren, Geometrie, Mathematikunterricht, Pythagoräischer Lehrsatz


Autor: Scheungrab, Christian
Titel: Beweisen im Abitur.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 155, S. 62–63

Abstract: Beweisen und Begründen stellen wesentliche Aspekte mathematischen Arbeitens dar und sind auch in Abiturprüfungen angemessen zu berücksichtigen. Der Beitrag gibt Hinweise zur Prüfungsvorbereitung und stellt Aufgabenbeispiele vor, die die Begründungsflexibität schulen und grundsätzliche Strategien vermitteln können.

Schlagwörter: Beweisen, Problemstellung, Beweis, Unterrichtsanalyse, Sekundarstufe II, Oberstufe, Abitur, Mathematikunterricht


Autor: Herget, Wilfried
Titel: Die etwas andere Aufgabe.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 155, S. 66–67

Abstract: Der Beitrag stellt Aufgaben vor, die zum Beschreiben, Modellieren, Schätzen und kritischem Hinterfragen von Grafiken herausfordern. Enthalten sind ferner Vorschläge für Aufgaben zur Prozentrechnung (Mogelpackungs-Mathematik).

Schlagwörter: Problem, Problemstellung, Grafische Darstellung, Kritisches Denken, Zeitungsartikel, Modellbildung, Menge , Prozentrechnung, Quadrat, Mathematikunterricht, Mathematik


Autor: Barzel, Bärbel; Wahl, Jochen
Titel: Ideenkiste.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 155, S. 68–69

Abstract: Ein Trick, mit dem auf 5 endende Zahlen einfach und ohne Taschenrechner quadriert werden können, wird im ersten Beitrag zum einen symbolisch-algebraisch und zum anderen grafisch-visuell bewiesen. Der zweite Beitrag stellt eine ungewöhnliche Schülerlösung zu der Aufgabe vor, die größtmögliche, oben offene und quaderförmige Schachtel aus einem DIN-A-4-Blatt zu bauen.

Schlagwörter: Problem, Präsentation, Beweis, Schüler, Unterrichtsmedien, Geometrie, Quadratzahl, Mathematikunterricht


Bisher erschienene Ausgaben:

Produktdetails

Bestellnr.:
58155
Medienart:
Zeitschrift
Seitenzahl:
68

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