Optimale Entscheidungen

Autor: Wieschendorf, Anke; Lassahn, Sabine
Titel: Allgemeine Entscheidungsmodelle.
Quelle: In: Mathematik lehren,(1992) 54, S. 8–11

Abstract: Eine Unterrichtseinheit zum Thema Entscheidungsprobleme geeignet ab Klasse 9 wird vorgestellt, in der die Schueler zunaechst Entscheidungssituationen subjektiv bewerten, sich mit Erwartungswerten, dem Bayes-Prinzip und Auswertungsregeln wie der Hodges-Lehrmann, Minimax-, Laplace- und Hurwics-Regel befassen, die Kenntnisse von Wahrscheinlichkeiten bedingen bzw., wie die drei letzteren Regeln, ohne solche auskommen, und diese Regeln auf Problemaufgaben anwenden. Die Aufgaben betreffen die drei Moeglichkeiten des Herrn Kunze, am Montag zur Arbeit zu gelangen (Pkw mit Sommer- bzw. Winterreifen, wetterabhaengige Fahrtzeiten, zug) und ein Gewinnmaximierungsproblem fuer den Blumenhaendler. Die Anwendung der Regeln fuehrt, wie gezeigt, bei den Aufgaben zu anweichenden Ergebnissen, die kritisch reflektiert werden. Didaktische Hinweise, eine strukturierte Stundenplanung, detaillierte mathematische Bearbeitungen der den Stunden zugrunde liegenden Probleme sowie zwei weitere Aufgaben (Omlettenproblem, Lagerhaltungsproblem) mit ausfuehrlicher Loesung werden angeboten. UNTERRICHTSGEGENSTAND: Beispielbezogene Anwendung von Bayes-Prinzip, Minimax-, Laplace-, Hurwucs- und Hodges- Lehrmann-Regel

Schlagwörter: Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Modell, Lineare Optimierung, Unterrichtseinheit, Problemorientierter Unterricht, Tabelle, Stochastik, Testaufgabe, Unterrichtsmaterial, Entscheidung, Problemlösen, Mathematikunterricht, Sekundarstufe I, Mathematik, Anwendung

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Autor: Wieschendorf, Anke; Lassahn, Sabine
Titel: Lineares Optimieren (deterministisch).
Quelle: In: Mathematik lehren,(1992) 54, S. 12–14

Abstract: Eine Unterrichtseinheit fuer Klasse 9 wird vorgestellt, der lineare Optimierungsprobleme zugrunde liegen. Hinterfragt wird die Entscheidung eines Bauern zur Sortenwahl bei beabsichtigtem Gemueseanbau, wenn Unkosten, Gewinn pro Sorte und zur Verfuegung stehende Arbeitsstunden von Helfern gegeben sind. Die Schueler setzen, wie beschrieben, die mathematischen Vorgaben in lineare Ungleichungen um, stellen diese graphisch dar, bestimmen das gesuchte Maximum mittels Zielgerade und Restriktionspolyeder, bearbeiten eine zweite Maximierungsaufgabe (erstellung von Geraeten mittels mehrerer Maschinen mit moeglichst hohem Gewinn) und bearbeiten dann in leicht abgewandelter Vorgehensweise eine Minimierungsaufgabe (Erstellung einer vorgegebenen Erzmischung aus lieferbaren Gemischen zu moeglichst niedrigem Preis). Zum Unterricht sind methodisch- didaktische Hinweise, Lernziele, eine strukturierte Stundenplanung und vier Aufgaben mit ausfuehrlicher Loesung beigegeben. UNTERRICHTSGEGENSTAND: Lineares Optimieren (deterministisch)

Schlagwörter: Lineare Optimierung, Beispiel, Schuljahr 09, Problemorientierter Unterricht, Tabelle, Testaufgabe, Algebra, Unterrichtsmaterial, Grafische Darstellung, Problemlösen, Mathematikunterricht, Unterrichtsentwurf, Sekundarstufe I, Mathematik, Anwendung

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Autor: Pape, Bodo von
Titel: Einfache Strategien.
Quelle: In: Mathematik lehren,(1992) 54, S. 15–20

Abstract: Eine Unterrichtseinheit im Rahmen eines Staochastikkurses ueber acht Stunden wird vorgestellt, in der Schueler sich mit einfachen Strategien zur rationalen Entscheidungsfindung befassen. Die Schueler beschaeftigen sich, wie ausfuehrlich dargestellt, waehrend der Einheit mit der Entscheidung eines Blumenhaendlers ueber den Blumeneinkauf bei vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten zum Kundenverhalten, am Beispiel eines Wuerfelspiels und der Entscheidung ueber Angebote mit den Strategien des optimalen Stoppen eines Vorgangs bzw. mit der des rechtzeitigen Zugreifens, mit Strategien der Parkplatzsuche und mit Heiratsstrategien, lernen zwischen guten und erfolgreichen Entscheidungen in Zusammenhang mit dem eingetretenen Erfolg unterschieden, befassen sich mit kuehnen Strategien am Beispiel von Fopp-Wetten, am Kampf dreier Schuetzen und schliesslich mit der Spielbank-Verdoppelungsstrategie, wobei auch genannte Beispiele von Schuelern selbstaendig als Aufgaben bearbeitet werden koennen (Wett- und Spielbank-Beispiel). Didaktische Vorbemerkungen, Lernziele, eine strukturierte Stundenplanung wie auch ausfuehrliche Darstellungen und Loesungen von elf Aufgaben werden angeboten. UNTERRICHTSGEGENSTAND: Strategien bei stochastischen Problemen

Schlagwörter: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Unterrichtseinheit, Tabelle, Stochastik, Sekundarstufe II, Optimierung, Unterrichtsmaterial, Grafische Darstellung, Entscheidung, Strategie, Problemlösen, Mathematikunterricht, Arbeitsbogen, Mathematik

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Autor: Meyer, Dietrich
Titel: Stochastische Lineare Optimierung.
Quelle: In: Mathematik lehren,(1992) 54, S. 21–25

Abstract: Eine Unterrichtseinheit Stochastische lineare Optimierung, bedingt schon ab Klasse 10 einsetzbar, wird vorgestellt, die sich in vier Abshcnitte gliedert. Zunaechst bearbeiten die Schueler, Lerninhalte aus Klasse 9 wiederholend, ein Gewinnmaximierungsproblem (2 Entscheidungsvariable) einer Gaertnerei, die sich ueber Anbauflaechen mit Nutz- bzw. mit Zierpflanzen entscheiden muss, verallgemeinern das Problem fuer den Fall schwankender Gewinne, dann fuer zufaellige Restriktionen und schliesslich fuer sowohl schwankende Gewinne als auch zufaellige Restriktionen. Auf einen moeglichen Ausbau der Problematik auf mehr als zwei Entscheidungsvariable, auf Nutzung der Simplex-Methode mit Computereinsatz ist hingewiesen. Didaktisch- methodische Bermerkungen, Lernziele, eine strukturierte Stundenplanung und ausfuehrliche Bearbeitungen der vorgestellten Aufgaben liegen bei. UNTERRICHTSGEGENSTAND: Optimierung bei statistisch schwankenden Randbedingungen

Schlagwörter: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Lineare Optimierung, Unterrichtseinheit, Problemorientierter Unterricht, Tabelle, Stochastik, Sekundarstufe II, Computereinsatz, Unterrichtsmaterial, Grafische Darstellung, Strategie, Mathematikunterricht, Mathematik

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Titel: Alpha.
Quelle: In: Mathematik lehren,(1992) 54, 36 S.

Abstract: Die Alpha Schuelerzeitschrift Heft 5 enthaelt eine Vielzahl von kurzen Aufsaetzen zu folgenden Themen: Buchstabenraetsel, Zahlenlabyrinthe. Pop Up-Modelle von Pyramiden, Prismen, Quadern, Wuerfeln. Primzahlsiebe des Eratosthenes und des Sundaram. Keplers 3. Gesetz in logarithmischer Darstellung. Olympiadeaufgaben Baden- Wuerttemberg 91 + Loesungen. Geraete zur Strecken- und Winkeldrittelung. Flaecheninhalte durch Zerlegung in kongruente Dreiecke vergleichen. Geometrie in einer Ebene, die nur Punkte mit rationalen Koordinaten enthaelt.

Schlagwörter: Unterrichtsmaterial

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Autor: Meyer, Dietrich
Titel: Spieltheorie.
Quelle: In: Mathematik lehren,(1992) 54, S. 59–63

Abstract: Eine Unterrichtseinheit Spieltheorie wird vorgestellt, die als Teil eines Stochastik-Kurses in der Sekundarstufe II erprobt wurde. Die beiden ersten vorgestellten Spiele koennen bereits in Klasse 7 bzw. bei kenntnis von Matrizen in Klasse 9 eingesetzt werden. Die Ausfuehrungen betreffen das Nim-Spiel (Spieler nehmen abwechselnd 1, 2 oder 3 Hoelzchen von einem Stapel, der Sieger nimmt das letzte Hoelzchen), Spiele mit Sattelpunkt, wie Bau eines Warenhauses den groessten Umsatz hat), Spiele ohne Sattelpunkt, wie ein Boersenspiel oder ein Gewinnmaximierungsspiel mit vorgegeben Wahrscheinlichkeiten sowie sog. 2/n-Spiele zwischen zwei Spielern, bei denen ein Spieler genau 2 Strategien nutzt, der andere Spieler aber ueber mindestens 2 Strategien verfuegt. Moeglichkeiten werden aufgezeigt, unter gewissen Bedingungen Spiele auf 2/n- Spiele zu reduzieren. Alle besprochenen Spiele sind ausfuehrlich unter spieltheoretischen Gesichtspunkten hinterfragt und auf Strategien hin untersucht. UNTERRICHTSGEGENSTAND: Spieltheorie

Schlagwörter: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Lineare Optimierung, Unterrichtseinheit, Spieltheorie, Tabelle, Stochastik, Sekundarstufe II, Unterrichtsmaterial, Grafische Darstellung, Strategie, Mathematikunterricht, Sekundarstufe I, Mathematik, Nim-Spiel

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Autor: Weilhammer, Bernhard
Titel: Einseitiger Hypothesentest in Klasse 10.
Quelle: In: Mathematik lehren,(1992) 54, S. 64–69

Abstract: Im Einklang mit kommerzieller Schulbuchliteratur, die eine Behandlung der Binominalverteilung mit Erwartzungswert, Sigma-Umgebung und Konfidenzintervallen bereits in Klasse 20 vorsieht, wird exemplarisch an der Pruefung von Integrierten Schaltkreisen gezeigt, wie der einseitige Hypothesentest bereits Schuelern in Klasse 10 transparent gemacht werden kann. Ziel ist es u.a., bei festgelegter Hypothese Wahrscheinlichkeitsverteilung, Stichprobenumfang sowie Alpha- und Beta- Fehler zu bestimmen, wie auch umgekehrt bei vorgegeben Fehlern Stichprobenumfang und Verteilung, Hypothesen und Entscheidungsregel zu begruenden. Die Durchfuehrung des Hypothesentests an einer Stichprobe von zunaechst 10, dann 20 Schaltkreisen ist ausfuehrlich unter Zugrundelegen der Binominalverteilung dargestellt und erlaeutert. Zwei als Uebung und Festigung des Gelernten gedachte Aufgaben mit Loesung liegen bei, die den Hypothesentest bei einer Pruefung von Medikamenten bzw. Thermostaten betreffen. Intendierte Lernziele zum Hypothesentest sind formuliert und reflektiert. UNTERRICHTSGEGENSTAND: Einseitiger Hypothesentest in Klasse 10. Eine kleine Analyse an einem Beispiel

Schlagwörter: Hypothese, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Schuljahr 10, Sekundarbereich, Test, Kursmaterial, Unterrichtsmaterial, Grafische Darstellung, Mathematikunterricht, Mathematik, Binomialverteilung

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Autor: Wickmann, Dieter
Titel: Beurteilen und Entscheiden bei Unsicherheit.
Quelle: In: Mathematik lehren,(1992) 54, S. 71–78

Abstract: In der Statistik unterscheidet man bei der Bueurteilung eines Sachverhaltes zwischen zwei Konzepten, der sog. klassischen Methode des Schaetzens und Testens und dem Ansatz nach Bayes. Wie detailliert dargestellt, werden Hypothesen beim klassischen Ansatz nach Pruefung angenommen oder zurueckgewiesen (verworfen), die ihnen zugeordnete Wahrscheinlichkeit ist eine objektive Groesse, unabhaengig von menschlicher Erkenntnis. nach dem Bayes- Ansatz dagegen werden Hypothesen beurteilt: die hier der Beurteilung zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeiten sind subjektiver Natur, sie haengen vom Kenntnisstand zur Zeit der Beurteilung ab und sind revidierbar. Im vorliegenden Beitrag wird der klassischen Methode (Teil A) der Bayes- Ansatz (Teil B) gegenuebergestellt, grundsaetzliche Unterschiede sind an Beispielen verdeutlicht. Behandelt sind u. a. im Teil A. Zufallsversuch, Zufallsereignis, die objektivistische Interpretation von Wahrscheinlichkeit, klassisches Schaetzen, Testen von Hypothesen mit bzw. ohne Entscheidungsfolgen, im Teil B: die sibjektive Interpreration von Wahrscheinlichkeiten, Zustand, Zustandsraum, der subjektive Sicherheitsgrad als Ausdruck der Wettbereitschaft, das Ziel subjektiver Uebereinstimmung, Drei-Urnen-Experiment und Bayes- Theorem, Erweiterung des Urnen-Experiments: Aufstellen der Gewinnmatrix, vernuenftig Entscheiden, Bayes- Prinzip und Ablauf einer Bayes-Analyse. UNTERRICHTSGEGENSTAND: Beurteilende Statistik unter Zugrundelegen von objektiven bzw. subjektiven Wahrscheinlichkeiten

Schlagwörter: Hypothese, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Problem, Unterrichtseinheit, Test, Beurteilung, Stochastik, Statistik, Sekundarstufe II, Bayes-Formel, Schätzung, Unterrichtsmaterial, Grafische Darstellung, Entscheidung, Mathematikunterricht, Mathematik

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