Wissen vernetzen – Geometrie und Algebra

Autor: Vom Hofe, Rudolf; Jordan, Alexander
Titel: Wissen vernetzen. Beziehungen zwischen Geometrie und Algebra.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 154, S. 4–9

Abstract: Viele Lernprobleme liegen darin, dass Schülerinnen und Schüler mathematische Begriffe und Verfahren nur in einem begrenzten, isolierten Gebiet anwenden können. Erfolgreiches mathematisches Denken und Handeln aber bedarf der Fähigkeit zum Übersetzen, zwischen verschiedenen Darstellungsebenen zu wechseln. Je nach Darstellungsform, ob formal als Term oder anschaulich als Figur, lassen sich mathematische Zusammenhänge unterschiedlich beschreiben und ermöglichen verschiedene Einsichten und Lösungswege. Der Beitrag stellt die Theorie der Register nach Duval vor, die einen Ansatz liefert, die gedanklichen Prozesse von Schülerinnen und Schülern beim Wechsel der Darstellungsebenen zu analysieren. Wie Lernsituationen geschaffen werden können, die Gelegenheit zum Vernetzen von Geometrie und Algebra geben, wird am Transfer zwischen Funktionsterm und Graphen erläutert.

Schlagwörter: Konzept, Untersuchung, Darstellungsform, Unterrichtsanalyse, Systemisches Denken, Geometrie, '>Funktion $,\; Funktionsgraf,\; Algebra,\; Mathematikunterricht$

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Autor: Jaschke, Tobias
Titel: Vom Bild zum Term. Geometrie hilft Algebra verstehen.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 154, S. 10–11

Abstract: Geometrische Veranschaulichungen geben Termen Bedeutungen und liefern Begründungen. Der Beitrag bietet Unterrichtsanregungen für die Klassenstufen 5/6 und 7/8, mit denen durch Repräsentation mathematischer Inhalte auf verschiedenen Darstellungsebenen stabile Bedeutungsassoziationen aufgebaut und Lernen sowie Erinnern verbessert werden können.

Schlagwörter: Konzept, Theorie, Darstellungsform, Verständnis, Konkretisierung, Ausdruck, Verstehen, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Systemisches Denken, Lehren, Visualisieren, Geometrie, Quadrat, Rechteck, Algebra, Mathematikunterricht, Zahl

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Autor: Henn, Hans-Wolfgang
Titel: Umlege-Puzzles und Fibonacci-Zahlen. Ein geometrisches Problem algebraisch analysieren.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 154, S. 12–15

Abstract: Folgen bilden ein reichhaltiges Feld zum Entdecken, Beschreiben und Begründen. Die vorliegende Unterricheinheit für 9./10. Klassenstufen führt über die geometrische Analyse eines Umlege-Puzzles mithilfe des Strahlensatzes zu der bekannten Fibonacci- und anderen rekursiven Folgen und gibt Anregungen für weiterführenden Unterricht.

Schlagwörter: Beweisen, Beweis, Puzzle, Schuljahr 10, 9. Schuljahr, Entdeckendes Lernen, Systemisches Denken, Unterrichtseinheit, Arbeitsbogen, Geometrie, Addition, Fibonacci-Zahl, Arithmetikunterricht, Rechnen, '>Folge $,\; Mathematikunterricht,\; Proportionalität,\; Arithmetik$

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Autor: Kleine, Michael
Titel: Was ist optimal? Erkundungen zur Verpackungsarithmetik.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 154, S. 16–19

Abstract: Die Suche nach einer optimalen Verpackung, die größtmögliches Volumen bei kleinstmöglichem Materialverbrauch bietet, gibt Gelegenheit, unter dem Aspekt der Optimierung typische Inhalte der Geometrie aus der SI anzuwenden und mit algebraischen Betrachtungen zu verknüpfen. Der Beitrag stellt dazu eine Unterrichtseinheit vor, die in einer 10. Gesamtschulklasse erprobt wurde.

Schlagwörter: Verpackung, Optimierung, Schuljahr 10, 9. Schuljahr, 11. Schuljahr, Systemisches Denken, Gruppenarbeit, Unterrichtseinheit, Mosaik, Geometrie, Fläche, Mathematisches Modell, Algebra, Mathematikunterricht, Angewandte Mathematik, Volumen

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Autor: Frohn, Daniel
Titel: Die Wurzel aus 2. Zugänge zur Irrationalität auf algebraischen und geometrischen Wegen.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 154, S. 20–24, 45

Abstract: Ein Irrationalitätsnachweis kann durch vielfältige und vernetzte Zugänge schüleraktiv gestaltet werden. Der Beitrag stellt verschiedene Einstiegsaufgaben vor, die auf die Wurzel aus 2 führen, sowie eine Auswahl von Beweisen zur Irrationalität dieser Zahl. Für den Unterricht werden zwei Zugänge ausführlich beschrieben, ein algebraischer über Brüche und ihre Quadrate und ein geometrischer über die Konstruktion eines Quadrats im Quadrat, der mit Papierfaltungen die Chance zum handelnden Entdecken erster Eigenschaften bietet.

Schlagwörter: Beweis, Unterrichtsanalyse, 8. Schuljahr, Schuljahr 10, 9. Schuljahr, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Schüleraktivität, Entdeckendes Lernen, Systemisches Denken, Lehren, Unterrichtseinheit, Arbeitsbogen, Unterrichtsmedien, Irrationale Zahl, Geometrie, Algebra, Mathematikunterricht, '>Wurzel $,\; Papierfalten$

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Autor: Jaschke, Tobias
Titel: Mathe Welt. Terme geometrisch multiplizieren.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 154, S. 24–44

Abstract: Eine wichtige Grundvorstellung beim Rechnen mit Termen ist die Visualisierung mittels geeigneter geometrischer Objekte. Sie ermöglicht die Interpretation der Multiplikation zweier Terme als Fläche. In dem Arbeitsheft wird die Veranschaulichung durch Rechtecke konsequent umgesetzt. Der Aufbau des Heftes folgt der üblichen dreiteiligen Gliederung in Ausmultiplizieren und Ausklammern, Multiplizieren von Summen, binomische Formeln. Zu jedem Teil gibt es eine Einführung und weiterführende Aufgaben, welche die Rechteckvorstellung festigen und vertiefen, sodass die geometrische Veranschaulichung zu einer echten Lern- und Verständnishilfe wird. Eine Besonderheit ist das Erarbeitungsspiel Binomy, das die erste binomische Formel vorbereitet. Das Heft kann ab Klasse 7 parallel zum normalen Unterricht eingesetzt werden.

Schlagwörter: Konzept, Theorie, Ausdruck, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Systemisches Denken, Übungsbuch, Lernspiel, Arbeitsbuch, Visualisieren, Geometrie, Multiplikation, Rechteck, Algebra, Mathematikunterricht

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Autor: Brandl, Matthias
Titel: Kegelvolumen und mehr. Vom Kegel zur Tschirnhaus-Kubik und zurück.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 154, S. 46–49

Abstract: Am Beginn des Unterrichtsvorschlags steht die Frage nach einem Kreissektor, der ein maximales Kegelvolumen einschließen kann. Ausgehend von einer Reihe realer Papierkegel werden die Schülerinnen und Schüler auf den nichtlinearen Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Kegels und seinem Öffnungswinkel geführt. Dieser Aspekt taucht in der algebraischen Herleitung der entsprechenden Formel wieder auf. Weitere Betrachtungen sind möglich: Durch Spiegelung des Graphen der Volumenfunktion an den Koordinatenachsen entsteht eine zum Ursprung punktsymmetrische Kurve, die im Weiteren zur Tschirnhaus-Kubik führt. Über Kegelschnitte kommen die Schülerinnen und Schüler von der Parabel zurück zum Ausgangkörper, dem Kegel. Das Thema eignet sich für Projekttage und Facharbeiten.

Schlagwörter: Sekundarstufe II, Oberstufe, Schüleraktivität, Entdeckendes Lernen, Lehren, Unterrichtseinheit, Ellipse, Viereck, '>Kegel $,\; Mathematikunterricht,\; Volumen$

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Autor: Kokol, Ralf
Titel: Ein minimales Glasfasernetz. Mit Geometrie und Algebra zur Lösung.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 154, S. 50–54

Abstract: Um die Kommunikation zwischen drei Standorten (Produktion, Lager, Verwaltung) einer Firma zu verbessern sollen diese durch ein Glasfasernetz minimaler Streckenlänge verbunden werden. Zur Lösung gehen die Schülerinnen und Schüler das Problem in Gruppen auf verschiedenen Wegen an: durch Probieren mit dynamischer Geometriesoftware, analytisch mit Mitteln der Differenzialrechnung, durch systematische Suche mit Hilfe eines Computerprogramms und mittels geometrischer Betrachtungen für ein Dreieck, dessen Innenwinkel kleiner als 120 Grad sind.

Schlagwörter: Optimierung, Unterrichtsanalyse, Problemlösen, Sekundarstufe II, Oberstufe, Systemisches Denken, Modellbildung, Unterrichtseinheit, Computerunterstützter Unterricht, Geometrie, Differenzialrechnung, Dreieck, Mathematikunterricht, Mathematik

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Autor: Kortenkamp, Ulrich
Titel: Homogene Koordinaten. Geometrische Fragestellungen algebraisch lösen.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 154, S. 55–57

Abstract: In dem Unterrichtsvorschlag für die Oberstufe werden typische Grundoperationen der linearen Algebra in der Geometrie der Ebene eingesetzt. Grundlage sind die homogenen Koordinaten; ein Punkt in der Ebene wird nun mit drei statt zwei Koordinaten beschrieben. Mit dieser Koordinatenschreibweise könnnen viele Operationen auf Geraden und Punkten mit einfachen Werkzeugen der linearen Algebra – Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Determinante – ausgeführt werden. Die Behandlung von Sonderfällen wird vollständig verzichtbar und auch das Unendliche wird handlich. Mit dem homogenen Koordinatensystem kann eine Verbindung von linearer Algebra und analytischer Geometrie mit moderner Mathematik, wie sie etwa in der Computergrafik notwendig ist, geschaffen werden.

Schlagwörter: Homogenität, Sekundarstufe II, Oberstufe, Systemisches Denken, Unterrichtseinheit, Lineare Algebra, Determinante, Koordinate, Analytische Geometrie, Vektorprodukt, Mathematikunterricht, Skalarprodukt, Unendlichkeit

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Autor: Humenberger, Hans
Titel: Das Google-PageRank-System. Mit Markoff-Ketten und linearen Gleichungssystemen Ranglisten erstellen.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 154, S. 58–63

Abstract: Mathematisch betrachtet stecken hinter dem so genannten PageRank-System bei der Suchmaschine Google, mit dem die Seiten zu einem gesuchten Thema oder Begriff in eine nach Wichtigkeit geordnete Reihenfolge gebracht werden, mehrstufige Prozesse (bzw. Markoff-Ketten). Mit diesem Thema lässt sich der Vernetzungsgedanke gut verwirklichen, da es einerseits Elemente der Linearen Algebra (Übergangsmatrizen), andererseits der Stochastik (Wahrscheinlichkeiten, relative Häufigkeiten) bzw. der Analysis (Grenzwerte) beinhaltet. Der Beitrag gibt konkrete Anregungen für eine Umsetzung des Themas im Unterricht der Oberstufe.

Schlagwörter: Internet, Stochastik, Unterrichtsanalyse, Sekundarstufe II, Oberstufe, Systemisches Denken, Lehren, Ranking, Matrizenrechnung, Wahrscheinlichkeitstheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Lineare Algebra, Infinitesimalrechnung, Differenzialrechnung, Häufigkeit, Grenzwert, Integralrechnung, Mathematikunterricht, Markowscher Prozess, Analysis

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Autor: Herget, Wilfried
Titel: Die etwas andere Aufgabe.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 154, S. 66–67

Abstract: Der Beitrag enthält zum einen Aufgabenstellungen der Art Was meinst du dazu, die aus fehlerhaften Größenangaben und Grafiken in Zeitungsartikeln entstanden sind. Zum anderen werden Aufgaben vorgestellt, die grundlegende mathematische Fähigkeiten wie Raumvorstellung oder Argumentieren fordern und fördern. Abschließend werden einige Darstellungen zur Jahreszahl 2009 aufgeführt.

Schlagwörter: Problem, Problemstellung, Grafische Darstellung, Verständnis, Verstehen, Entspannung, Kritisches Denken, Zeitungsartikel, Unterrichtsziel, Argumentation, '>Menge $,\; Mathematikunterricht,\; Mathematik$

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Autor: Hilgers, Anne
Titel: Ideenkiste. Hexaflexagone. Umklapper mit System.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2009) 154, S. 68–69

Abstract: Bei einem Hexaflexagon handelt es sich um einen Papierstreifen aus Dreiecken, der gefaltet, verdreht und zusammengeklebt wird. Flach hingelegt hat es die Form eines Hexagons. Es ist flexibel zusammenfaltbar und kann umgekrempelt werden. Der Beitrag gibt eine Anleitung zum Bauen und Klappen (flexen) verschiedener Hexaflexagone und stellt Ideen zu ihrer Erkundung im Unterricht vor.

Schlagwörter: Entspannung, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Schüleraktivität, Lehren, Geometrie, Geometrische Konstruktion, Mathematikunterricht, Mathematik, Analysis, Papierfalten

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