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Stochastische Phänomene

Der Mathematikunterricht Nr. 1/2008

Erscheinungsdatum:
Februar 2008
Schulfach / Lernbereich:
Mathematik
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Wie lässt sich das "stochastische Gefühl" fördern? Die Beiträge in diesem Heft beleuchten ganz unterschiedliche stochastische Phänomene:
  • Simulationen mit Excel
  • Eine elementare Begründung des BENFORD-Gesetzes
  • Überraschungen beim Münzwurf
  • Das Problem des anderen Kindes

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Abstract

Autor: Meyer, Jörg
Titel: Simulationen mit Excel.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2008) 1, S. 4–15

Abstract: Die weitverbreitete Tabellenkalkulation Excel ist für die Förderung des stochastischen Gefühls gut geeignet. Man wundert sich immer wieder, wie gut man diese (eigentlich für Büro-Anwendungen konzipierte) Software für unterrichtliche Zwecke nutzen kann – wenn man weiß, wie es geht. Der Autor beschreibt in seinem Beitrag, wie man ohne Programmierkenntnisse, ohne Makros und ohne Analyse-Funktionen, dafür mit Mehrfachoperationen, in Excel bequem auch nichttriviale Sachverhalte in größerem Umfang simulieren kann. Dabei simuliert er in diesem Aufsatz nicht nur Klassiker wie das Geburtstagsproblem oder das Problem der vollständigen Serie, sondern auch Phänomene, die in anderen Heftbeiträgen theoretisch erörtert werden.; The widespread Excel software is very well suitable for improving students sense for stochastics. In his article, the author describes how to easily carry out large-scale simulations of non-trivial facts, without having any programming knowledge or using macros or analytical functions, but with making use of multiple operations. The simulations are not only on classics such as the birthday problem or the problem of the complete series but also on phenomena which are theoretically discussed in other contributions to this issue.

Schlagwörter: Excel, Diagramm, Verteilung, Würfeln, Simulation, Stochastik, Computerunterstützter Unterricht, Computersimulation, Zufallszahl, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Tabellenkalkulation, Häufigkeit, Mathematikunterricht, Beschreibende Statistik, Anwendersoftware


Autor: Henze, Norbert
Titel: Rekorde.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2008) 1, S. 16–23

Abstract: Mitunter haben Sachverhalte, die auf den ersten Blick gar nichts miteinander zu tun haben, eine gemeinsame Struktur. Man kann dann einen Sachverhalt durch einen anderen modellieren. Der Autor beschreibt in seinem Beitrag, dass sich die Zeitpunkte von Rekorden durch die Betrachtung von Permutationen der Zahlen 1,2,..., n modellieren lassen. Dann lässt sich ermitteln, wie viele Rekorde bei n Wettkämpfen zu erwarten sind. Selbstverständlich wird auch untersucht, ob die Folgerungen aus der Modellrechnung mit realen Rekorddaten aus dem Sportbereich kompatibel sind oder nicht. Neben dem Erwartungswert untersucht der Autor auch die Varianz und die Verteilung der Rekordanzahl; zudem geht er der Frage nach, warum für wachsendes n die Anzahl der Rekorde asymptotisch normalverteilt ist. Alle diese Probleme sind zwar nicht neu, sie werden jedoch hier im Hinblick auf eine mögliche Behandlung im Schulunterricht aufbereitet.; Sometimes, there is a common structure between findings that have apparently nothing to do with each other. In this case, one issue can be modelled through another one. In his article, the author describes the possibility to model the moments of records through reflections on the permutations of the numbers 1,2,..., n. Then, you can determine how much records can be expected in $n$ competitions. It is also investigated whether or not the conclusions drawn from the model calculations are compatible with real record data from the sports area. Besides the expected value, the author also investigates the variance and distribution of the record number; additionally, he looks into the question why the number of records, for increasing n, is asymptotically normal distributed. All of these problems are not new, but they are worked up here with regard to a possible treatment in school lessons.

Schlagwörter: Anwendung, Modellbildung, Rekursionsformel, Tabellenkalkulation, Zufall, Mathematikunterricht, Kombinatorik, Sport, Statistik


Autor: Humenberger, Hans
Titel: Eine elementarmathematische Begründung des Benford-Gesetzes.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2008) 1, S. 24–34

Abstract: Ein in der realen Welt beobachtbares stochastisches Phänomen ist das Benford-Gesetz: Bei der Arbeit mit Logarithmentafeln entdeckte man, dass diese auf den Anfangsseiten viel abgegriffener und abgenutzter waren als auf den hinteren. Wie lässt sich das erklären? Kommen Zahlen mit niedrigen Anfangsziffern in der Welt häufiger vor? Warum sollte die Natur eine Präferenz für kleine Anfangsziffern haben? Warum ist das bei Lotto-Zahlen nicht so? Der Autor stellt in seinem Aufsatz erstens unterschiedliche Kontexte vor, in denen das Benford-Gesetz zu beobachten ist, und stellt zweitens eine sehr einleuchtende Begründung vor, warum die Welt kleine Anfangsziffern begünstigt. Anschließend beschreibt er, was man mit diesen Kenntnissen anfangen kann und schildert, wie das Benford-Gesetz zur Steuerprüfung verwendet wird.; There is a stochastic phenomenon that can be observed in the real world, Benfords law: While working with log tables people discovered that the first pages showed much more signs of wear than the ones behind. What explanation can be found? Do numbers with low first digits occur more often in the real world? Why should nature have a preference for small first digits? Why dont lottery numbers behave like this? The author presents different contexts where Benfords law can be observed, and gives rather plausible reasons why the real world favours small first digits. Afterwards, he describes what can be done with this knowledge, and how Benfords law is used for tax inspectors investigation.

Schlagwörter: Verteilung, Rekursion, Wahrscheinlichkeitstheorie, Zufallszahl, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zahlentheorie, Logarithmus, Zufall, Folge , Mathematikunterricht, Dezimalzahl, Wahrscheinlichkeit , Angewandte Mathematik


Autor: Meyer, Jörg
Titel: Überraschungen beim Münzwurf.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2008) 1, S. 35–48

Abstract: Mit sehr elementaren Methoden wird gezeigt, dass Münzwürfe unerwartetes Verhalten zeigen. Die meisten Phänomene wurden wohl erstmalig von Feller populär gemacht. Methodisch weicht dieser Aufsatz vom Vorbild Feller in folgenden Punkten ab: Das Schwergewicht wird auf Anzahlen gelegt; Wahrscheinlichkeiten treten nur bei den Anwendungen auf. Es werden vor allem Pfade und nicht so sehr Binomialkoeffizienten manipuliert.; The article uses some elementary methods to show unexpected behaviour of coin tosses. Most phenomena have been made accessible by Feller. Methodically, this article differs from the Feller model in the following: The main emphasis is put on frequencies; Probabilities occur only with applications. The treatment is mainly on paths and not so much on binomial coefficients.

Schlagwörter: Anzahl, Simulation, Grafische Darstellung, Randomisierung, Rekursion, Experimentelle Mathematik, Erwartungswert, Zufall, Graf , Häufigkeit, Varianz, Nullstelle, Mathematikunterricht, Wahrscheinlichkeit , Binomialverteilung, Münze


Autor: Götz, Stefan; Humenberger, Hans
Titel: Das Problem des anderen Kindes.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2008) 1, S. 50–60

Abstract: There are different solutions in stochastics that are seemingly competing with each other, but this phenomenon becomes clear if one takes a closer look at the implicite assumptions of the solutions.; Der Beitrag zeigt in eindrücklicher Weise, dass es in der Stochastik zwar scheinbar miteinander konkurrierende Lösungen gibt, sich dies Phänomen aber klärt, wenn man die impliziten Annahmen der Lösungen näher besieht. Die Autoren schreiben: Die Abhängigkeit der Ergebnisse von den verwendeten Modellen, Voraussetzungen etc. wird im Unterricht mangels geeigneter Beispiele selten thematisiert. Das Kennen solcher Abhängigkeiten ist wohl ein wesentlicher Beitrag des Mathematikunterrichts zur Allgemeinbildung. Dabei räumen sie mit einer vergröbernden Sicht auf: Unsicherheit ist nicht gleich Zufall, auch wenn sie in analoger Weise (mathematisch) beschrieben werden.

Schlagwörter: Paradox, Interpretation, Stochastik, Baum, Textaufgabe, Mathematikunterricht, Wahrscheinlichkeit , Münze


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Zeitschrift

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