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Extremwertprobleme

Der Mathematikunterricht Nr. 4/2001

Erscheinungsdatum:
August 2001
Schulfach / Lernbereich:
Mathematik
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Verantwortlich für den Thementeil in diesem Heft: Rainer Danckwerts und Dankwart Vogel

Zur Einführung von Rainer Danckwerts und Dankwart Vogel

Extremwertaufgaben im Unterricht – Wege der Öffnung von Rainer Danckwerts und Dankwart Vogel

Extremwertprobleme mit Analysis – Anmerkungen zu einer stabilen Tradition von Rainer Danckwerts und Dankwart Vogel

Milchtüte und Konservendose – Modellbildung im Unterricht von Rainer Danckwerts und Dankwart Vogel

Extremwertprobleme ohne Analysis – die Kraft elementarer Methoden von Rainer Danckwerts und Dankwart Vogel

Die analytische Methode aus historischer Sicht – der Beitrag Fermats

kleingedrucktes:

Abstract

Autor: Danckwerts, Rainer; Vogel, Dankwart
Titel: Extremwertaufgaben im Unterricht – Wege der Oeffnung.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2001) 4, S. 9–15

Abstract: Extremwertaufgaben haben im Analysisunterricht ihren festen Platz. Daran wollen wir nichts aendern. Gelegentlich hat man allerdings den Eindruck, als waere das Thema geradezu gebunden an den analytischen Kalkuel. Diese verengte Sicht zu relativieren ist ein erster Schritt zur Oeffnung des Themas. Welche Aspekte des verstaendigen Umgangs mit dem Gegenstand sich dadurch eroeffnen, das ist Inhalt dieses Beitrags. Wir werden unsere Ueberlegungen an einem Beispiel entfalten, das den ganzen Beitrag durchzieht. Das benutzte Beispiel ist das isoperimetrische Problem fuer Rechtecke. Wir propagieren es keineswegs als ideales Einstiegsbeispiel fuer den Unterricht. Gleichwohl wird sich zeigen, dass sich daran unsere grundlegenden Orientierungen vorzueglich erlaeutern lassen. Es geht um den bekannten Satz (Isoperimetrisches Problem fuer Rechtecke): Unter allen umfangsgleichen Rechtecken hat das Quadrat den groessten Inhalt. (Einleitung).

Schlagwörter: Beweisen, Wissenschaftsgeschichte, Geometrie, Extremwert , Heuristik, Algebra, Ungleichung, Mathematikunterricht, Sekundarstufe I, Mathematik


Autor: Danckwerts, Rainer; Vogel, Dankwart
Titel: Extremwertprobleme mit Analysis – Anmerkungen zu einer stabilen Tradition.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2001) 4, S. 16–21

Abstract: Der unterliegende vertraute Algorithmus ist leicht beschrieben: 1. Schritt: Welche Groesse ist zu optimieren? Stelle einen Funktionsterm auf. 2. Schritt: Sind Variable zu eliminieren? Suche nach Nebenbedingungen. 3. Schritt: Berechne die lokalen Extremstellen im Definitionsbereich. 4. Schritt: Sind die lokalen Extrema auch global? Untersuche das Verhalten am Rande des Definitionsintervalls. Wie dieses Rezept im Einzelfall anzuwenden ist, wird dem Leser vertraut sein. Die Autoren werfen einen Blick hinter die Kulissen des Verfahrens mit dem Ziel, damit im Unterricht noch beweglicher umzugehen.

Schlagwörter: Unterrichtsplanung, Extremwert , Sekundarstufe II, Mathematikunterricht, Lösungsalgorithmus


Autor: Danckwerts, Rainer; Vogel, Dankwart
Titel: Milchtuete und Konservendose – Modellbildung im Unterricht.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2001) 4, S. 22–31

Abstract: Anwendungsorientierung im Sinne modellbildender Aktivitaeten schafft natuerliche Anlaesse, ueber die Rolle der Mathematik nachzudenken. Dies ist ein Beitrag zur Sinnfrage des Faches fuer Lehrer wie Schueler. Gute und das heisst vor allem alltagsnahe Beispiele sind rar, aber sie sind der Schluessel, diese Orientierung einzuloesen. Wir stellen zwei typische Beispiele vor: die Milchtuete und die Konservendose. Ziel ist, die unterliegende Philosophie im unterrichtlichen Umgang mit solchen Beispielen aufscheinen zu lassen. (Einleitung).

Schlagwörter: Anwendungsorientierung, Differenzialrechnung, Extremwert , Sekundarstufe II, Mathematikunterricht, Unterrichtsentwurf, Angewandte Mathematik


Autor: Danckwerts, Rainer; Vogel, Dankwart
Titel: Extremwertprobleme ohne Analysis – die Kraft elementarer Methoden.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2001) 4, S. 32–38

Abstract: Die Reichweite elementarer, d. h. nicht-analytischer Methoden zur Loesung von Extremalproblemen ist betraechtlich. Wir stellen drei ausgewaehlte elementare Methoden vor, analysieren sie und diskutieren sie schliesslich mit Blick auf den Unterricht. Extremwertaufgaben ohne Analysis zu loesen erfordert haeufig eine besondere Idee. Dadurch entsteht oft der Eindruck, verloren und chancenlos zu sein. Dies hat schlicht auch damit zu tun, dass man sich elementarer Methoden traditionell selten bedient. Erfahrene Problemloeser verfuegen ueber ein Repertoire unterliegender Prinzipien, die ihnen den Weg zur Loesung ebnen. Wir heben drei solcher Blickrichtungen hervor: Symmetrisieren – Einsatz der Mittelungleichung – Idee der Niveaulinien. (Aus der Einleitung).

Schlagwörter: Extremwert , Heuristik, Algebra, Problemlösen, Mathematikunterricht, Mittelwert


Autor: Danckwerts, Rainer; Vogel, Dankwart
Titel: Die analytische Methode aus historischer Sicht – der Beitrag Fermats.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2001) 4, S. 39–41

Abstract: Die Auseinandersetzung mit geeigneten Quellentexten kann unerwartete Einsichten eroeffnen und damit zu einem tieferen Verstaendnis eingespielter Verfahren beitragen. Fast 2000 Jahre nach Euklid beschaeftigt sich Pierre de Fermat (1601–1665) mit dem isoperimetrischen Problem fuer Rechtecke: Unter allen umfangsgleichen Rechtecken hat das Quadrat den groessten Inhalt. Fermat entwickelt eine Loesungsmethode, die zu einem tieferen Verstaendnis des heute schulueblichen analytischen Standardverfahrens beitragen kann. Die Fassung, in der Fermat das Problem studiert, geht auf Apollonius von Perge (um 200 v. Chr.) zurueck: Die Strecke AC ist so zu teilen, dass das Produkt der Teilstrecken maximal wird.

Schlagwörter: Wissenschaftsgeschichte, Geometrie, Extremwert , Mathematik


Autor: Koenig, Gerhard
Titel: Bibliographie zum Heftthema Extremwerte.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2001) 4, S. 42–49

Abstract: Deutschsprachige Veroeffentlichungen zum Thema werden nachgewiesen zusammen mit einem Kurzreferat des Inhalts.

Schlagwörter: Extremwert , Bibliografie, Mathematik


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