Chaos und Fraktale

Autor: Christiansen, Heidi
Titel: Das Chaos im Newton-Verfahren.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(1998) 2, S. 6–29

Abstract: Die Autorin berichtet zunaechst, wann und wie das Newton-Verfahren im Komplexen mit Chaos und Fraktalen in Zusammenhang gebracht wurde. Mit solchen Kenntnissen kann man spaeter die im Reellen gewonnenen Ergebnisse besser interpretieren und in das Gesamtkonzept einordnen. Das Newton-Verfahren fuer das reelle Polynom p(x) = x\sp 3-x wird genauer dargestellt und soll Schueler zum forschenden und experimentellen Umgang mit der Mathematik anregen. Ergibt sich daraus --- wie im letzten Abschnitt vorgeschlagen -- z. B. eine Untersuchung des Newton-Verfahrens fuer weitere Polynome dritten Grades, so muss die Differentialrechnung intensiv eingesetzt werden. Das Thema eignet sich dann nach Meinung der Autorin als Wiederholung zu Beginn der 13. Jahrgangsstufe in einem Leistungskurs.

Schlagwörter: '>Iteration $,\; Dynamisches\; System,\; Visualisieren,\; Newtonsches\; Verfahren,\; Komplexe\; Zahl,\; \text{'}>Gleichung$ ,\; Chaostheorie,\; Fraktal$$

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Autor: Stender, Peter
Titel: Die Feigenbaumanalyse – ein Unterrichtsgang fuer die Analysis in der Oberstufe.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(1998) 2, S. 30–52

Abstract: Peter Stender stellt in Die Feigenbaumanalyse -- ein Unterrichtsgang fuer die Analysis in der Oberstufe ein Feigenbaumdiagramm an den Anfang mit der Zielsetzung, dieses Bild vollstaendig zu verstehen. Dabei entwickelt er schrittweise die wichtigsten Inhalte der Differentialrechnung -- ein umfangreiches Programm in einem Kontext, der auch von SchuelerInnen als sinnvoll erachtet wird. Besonders bemerkenswert ist der Abschnitt ueber Umkehrpunkte und ihre vielfaeltigen Anwendungen, der so in der didaktischen Literatur nicht zu finden ist.

Schlagwörter: '>Iteration $,\; Differenzialrechnung,\; \text{'}>Folge$ ,\; Visualisieren,\; Lehrgang,\; Chaostheorie,\; Fraktal$$

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Autor: Beutler, Eckart
Titel: Iteration von Matrixabbildungen. Ein Kurs in Linearer Algebra.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(1998) 2, S. 53–75

Abstract: Das dargestellte Unterrichtskonzept ist auf der Grundlage von mehreren Leistungs- und Grundkursen entstanden. In den ersten Durchlaeufen war der Computer mit der Programmiersprache BASIC das entscheidende Hilfsmittel. Zur Zeit hat der graphikfaehige Taschenrechner TI 82 diese Rolle uebernommen. Zentrales Anliegen der Unterrichtseinheit ist: Es sollen Bilder codiert und decodiert werden, die aus zwei oder mehr Drehschrumpfungen iterativ erzeugt werden. Dabei spielen Fraktale eine Rolle. Ein besonders lehrreiches Beispiel bieten der gerade Pythagoras-Baum, der von zwei Drehschrumpfungen erzeugt wird. Ihm zugrunde liegt die Pythagoras-Spirale die analysiert wird. Dabei werden die technischen Probleme wie Koordinatentransformation und Zentrumsberechnung bewaeltigt. Die mathematische Grundlage der Betrachtungen ist ein Spezialfall des Banachschen Fixpunktsatzes, der allen konvergenten iterativen Vorgaengen zugrunde liegt: Jede Drehschrumpfung w(x) = Ax + v besitzt einen Fixpunkt Z, gegen den jede Folge von w-Iterationen von jedem beliebigem Startpunkt $X\sb 0$ aus konvergiert.

Schlagwörter: Matrix, '>Iteration $,\; Visualisieren,\; Abbildungsgeometrie,\; Abbildung,\; Fraktal$

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Autor: Altendorf, Erhard
Titel: Einfuehrung in die Unterrichtseinheit Folgen anhand des Drachen-Fraktals.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(1998) 2, S. 76–83

Abstract: Erprobte Unterrichtseinheit von vier Unterrichtsstunden ueber ein Modell des Drachen-Fraktals, das durch wiederholte einfache Papierstreifen-Faltung ensteht, die Eigenschaften dieses Modells sind leicht zu erkennen und -- mathematisch gesehen -- von weitreichender Relevanz. Dieses Modell erscheint besonders geeignet, um im Mathematik-Unterricht in den Folgenbegriff einzufuehren. Es wirkt auf Schueler stark motivierend und leistet vor allem fuer die Konvergenz von Folgen, aber auch fuer die Eigenschaften Monotonie und Beschraenktheit wertvolle heuristische -- partiell auch deduktive -- Vorarbeit.

Schlagwörter: Schuljahr 11, '>Folge $,\; Sekundarstufe\; II,\; Einstieg,\; Aktivität,\; Lehrgang,\; Papierfalten,\; \text{'}>Konvergenz$ ,\; Unterrichtsentwurf$$

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