Iteration

Autor: Körner, Henning
Titel: Iteration – eine fundamentale Idee.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2007) 6, S. 3–11

Abstract: Der Autor beschreibt in seinem Artikel, wie die fundamentale Idee der Iteration curricular mit den Standardinhalten verwoben werden kann.; The author describes possibilities how to interweave the fundamental idea of iteration with the subject matter in a standard curriculum.

Schlagwörter: Newton, Isaac, Wachstum, Ähnlichkeit, Klassifikationssystem, Klassifikation, Abbildung, Chaos, Methode, Räuber-Beute-System, Kontraktion, Goldener Schnitt, Numerische Integration, Geometrie, '>Iteration $,\; Fixpunkt,\; Transzendente\; Gleichung,\; Markowsche\; Kette,\; Differenzialgleichung,\; Algebra,\; Intervallschachtelung,\; Mathematikunterricht,\; \text{'}>Gleichung$ ,\; Kongruenzabbildung,\; Fraktal,\; Angewandte\; Mathematik,\; Heronsches\; Verfahren,\; Newtonsches\; Verfahren,\; Exponentielles\; Wachstum,\; Chaostheorie,\; Wachstumsmodell$$

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Autor: Beutler, Eckart
Titel: Geometrie und Iteration im Mittelstufenunterricht.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2007) 6, S. 12–22

Abstract: Aus der Einleitung: Da der Geometrieunterricht zumindest in der Mittelstufe mit Tätigkeiten verbunden sein sollte, stellen wir die Forderung auf, dass iterative Elemente ein fester Bestandteil eines substantiellen Geometrieunterrichts sein sollten. In diesem Beitrag sollen die Vorzüge des iterativen Umgangs mit geometrischen Objekten an Beispielen aufgezeigt werden. Dabei soll auch das Fundamentale deutlich werden. Im Einzelnen werden wir zunächst die Iteration von Kongruenzabbildungen betrachten. Dabei sehen wir, wie Symmetrie entstehen kann (Symmetrisierung) und lernen im Sinne von Schupp verschiedene Symmetriearten zu unterscheiden. Im Fall der Verschiebungen erhalten wir Bandornamente. Wenn man mehr als eine erzeugende Kongruenzabbildung zulässt, führt das zu den Parkettierungen der Ebene, was als iterativer Prozess allerdings recht schwer zu verstehen ist. Im Anschluss daran werden wir Ähnlichkeitsabbildungen iterieren. Zunächst lassen wir nur reine zentrische Streckungen zu und stellen den engen Zusammenhang zu den geometrischen Reihen her. In Kombination mit Drehungen können schon recht eindrucksvolle Bilder entstehen – bis hin zum Modell einer Sonnenblume. Bei diesen recht umfangreichen iterativen Aktivitäten ist die Verwendung von elektronischen Hilfsmitteln wie GTR und DGS fast unabdingbar; die Grundlagen für deren Programmierung mit Hilfe von Abbildungsmatrizen können dann in der Oberstufe erarbeitet werden (vertikaler Aspekt). Steht bei den genannten Tätigkeiten der Aspekt der Regelmäßigkeit im Vordergrund – die Symmetrievorstellung erfährt dabei durch den Begriff der Selbstähnlichkeit eine wesentliche Erweiterung -, so kommt im nächsten Abschnitt der Aspekt des Festlaufens zum Tragen. Durch eine wiederholt durchgeführte inhaltserhaltende Konstruktion, die schon auf Euklid zurückgeht, wird ein vorgegebenes Rechteck immer quadratähnlicher (historischer Aspekt). Durch diesen geometrisch-iterativen Zugang zum Wurzelziehen erhalten wir einen weiteren Kontakt zur Algebra (horizontaler Aspekt). Zum Abschluss werden wir die Vorschläge für die iterativen Aktivitäten, die wir zuvor dargestellt haben, vom didaktischen Standpunkt aus noch einmal reflektieren.; From the introduction: At least in the lower secondary school level, geometry education should be combined with student activities. For this reason, we demand iterative elements to become established parts of a substantial geometry education. This article presents some examples to show the merits of an iterative treatment of geometric objects, but fundamental issues are also explained.

Schlagwörter: Ähnlichkeit, Abbildung, Sekundarstufe I, Computergrafik, Computerunterstützter Unterricht, Goldener Schnitt, Symmetrie, Geometrie, '>Iteration $,\; Winkel,\; Fläche,\; Mathematikunterricht,\; Kongruenzabbildung,\; Fraktal,\; \text{'}>Wurzel$ ,\; Heronsches\; Verfahren$$

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Autor: Körner, Henning
Titel: Gleichungen und Iteration im Mittelstufenunterricht.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2007) 6, S. 23–33

Abstract: Aus der Einleitung: Nachfolgende Ausführungen sollen zeigen, wie iterative Verfahren zu einem konstitutiven Element des Lösens von Gleichungen werden können, mit einer vergleichbaren curricularen Entwicklung, wie sie innerhalb der algebraischen Verfahren vorliegt. Notwendig sind mindestens grafikfähige Taschenrechner, die in ständiger Verfügung der Schüler sind. Der Schwerpunkt der Darstellung liegt im Sekundarbereich I.; From the introduction: The article shows how iterative methods can become a constitutive element of solving equations, with a curricular development comparable to that within algebraic methods. Minimum requirement is the permanent availability of graphics calculators to students. The main focus is on the lower secondary school level.

Schlagwörter: Newton, Isaac, Grafische Darstellung, Methode, Geometrie, '>Iteration $,\; Fixpunkt,\; Intervallschachtelung,\; Konvergenz,\; Elementare\; Algebra,\; Mathematikunterricht,\; Inverse\; Funktion,\; \text{'}>Gleichung$ ,\; Heronsches\; Verfahren,\; Newtonsches\; Verfahren,\; Umkehrfunktion$$

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Autor: Hampe, Robert
Titel: Iteration und Wachstum.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2007) 6, S. 34–44

Abstract: From the introduction: For the planning of a teaching unit on \lq\lq growth models\rq\rq, it is inevitable to focus on differential equations or difference equations. One has to start with a hypothesis for the differential/difference equation. Afterwards, the course of the numbers has to be compared with the given one. Students have to learn the tool or competence to qualitatively interpret a differential/difference equation, i.e. to predict the course of numbers. Phase plots and slope field graphs are established representations relating differential equations to the respective course of growth, thus supporting the development of these competences. The article discusses which representations are suitable to achieve this with discrete modelling of growth processes, i.e. with difference equations.; Aus der Einleitung: Bei der Planung einer Unterrichtseinheit zum Thema Wachstumsmodelle ist es zunächst verlockend, Differentialgleichungen (DGLen) bzw. Differenzengleichungen (DZGLen) außen vor zu lassen. Sollen jedoch Schüler de facto eine Möglichkeit erhalten, selbstständig Wachstumsprozesse zu modellieren (Kompetenzen!), so ist es unumgänglich, den Fokus auch auf die Wirkmechanismen und damit auf die DGLen bzw. DZGLen zu richten. Es ist mit einer sinnvollen Hypothese für die DGL/DZGL zu beginnen und anschließend muss der Bestandsverlauf mit dem gegebenen verglichen werden. In den weiteren Schritten muss nun die DGL/DZGL sinnvoll bzw. zielführend geändert werden – dies ist nur möglich, wenn die Schüler qualitativ die DGL/DZGL in den Bestandsverlauf und umgekehrt umwandeln können. Oder anders formuliert: Eine DGL/DZGL qualitativ interpretieren, d.h. den Bestandsverlauf vorhersagen zu können, ist das Werkzeug bzw. die Kompetenz zum Modellieren von Wachstumsvorgängen. Dabei sind Phasendiagramme und Richtungsfelder etablierte Darstellungen, die die DGLen mit dem jeweiligen Wachstumsverlauf in Beziehung setzen und damit eine solche Kompetenz bei Schülern im Umfeld der DGLen fördern. Der Artikel geht der Frage nach, welche Darstellungen eben dies bei einer diskreten Modellierung – mit DZGLen – zu leisten vermag. Zuvor wird jedoch noch die konkrete Situation bei diskreten Wachstumsvorgängen detailliert dargestellt.

Schlagwörter: Diagramm, Wachstum, Grafische Darstellung, Zuwachs, Anwendung, Methode, Unterrichtsanalyse, Modellbildung, Didaktische Analyse, Unterrichtsplanung, Modellieren, '>Iteration $,\; Mathematisches\; Modell,\; Mathematikunterricht,\; Mathematik,\; Angewandte\; Mathematik,\; Exponentielles\; Wachstum$

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Autor: Kötter, Manfred
Titel: Ballwurf und Iteration.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2007) 6, S. 45–54

Abstract: From the introduction: The formulation as an initial-value problem can be motivated by the comprehension of the real throwing process. The basis and starting point of the model building will be the throwers point of view to develop a mathematical calculating method. The single chapters: The throwing experiment; Solving by iterative aiming -- the repetition of a throw; Solving by iterative aiming -- the calculation of the trajectory; Installation of an intuitive throw correction; Iterative solution with air resistance.; Aus der Einleitung: Die Formulierung als Anfangswertproblem lässt sich durch das Nachvollziehen des realen Wurfvorgangs motivieren. Die Sichtweise des Werfers soll in diesem Artikel Basis und Ausgangspunkt der Modellierung sein und wir wollen uns das Vorgehen beim Werfen zum Vorbild machen, um ein mathematisches Rechenverfahren zu entwickeln. Die einzelnen Abschnitte: Das Wurfexperiment; Lösen durch iteratives Zielen -- die Wiederholung eines Wurfes; Lösen durch iteratives Zielen -- die Berechnung der Wurfbahn; Einbau einer intuitiven Wurfkorrektur in das Verfahren; Iteratives Lösen mit Luftwiderstand.

Schlagwörter: Grafische Darstellung, Anwendung, Sekundarstufe II, Oberstufe, Fehler, Modellbildung, Parabel, Geometrie, '>Iteration $,\; \text{'}>Funktion$ ,\; Funktionsgraf,\; Differenzialgleichung,\; Mathematikunterricht,\; Mathematik,\; Angewandte\; Mathematik,\; Mechanik,\; Physik$$

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Autor: Sternemann, Wilhelm
Titel: Iterationen aus einem Wasserhahn.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2007) 6, S. 55–62

Abstract: From the introduction: The phenomenon of a dripping water tap does not appear, at first sight, to follow a pattern. It seems to be chaotic. The article shows how it reveals a regularity from an iterative point of view.; Aus der Einleitung: Der Artikel zeigt, wie das zunächst gesetzlos und chaotisch erscheinende Phänomen des tropfenden Wasserhahns unter iterativem Blick eine Gesetzmäßigkeit offenbart.

Schlagwörter: Sensitivität, Grafische Darstellung, Dynamisches System, '>Iteration $,\; Fixpunkt,\; \text{'}>Funktion$ ,\; Funktionsgraf,\; Polynom,\; Mathematisches\; Modell,\; Mathematikunterricht$$

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