Unendliche Reihen

Autor: Fuehrich, Arnold
Titel: Bemerkungen zur Berechnung von Funktionswerten in geschichtlicher Sicht.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2003) 2, S. 5–13

Abstract: Im ersten Beitrag des Heftes ueber unendliche Reihen berichtet Arnold Fuehrich ueber bemerkenswerte Ueberlegungen zur Ermittlung trigonometrischer Funktionswerte aus historischer Sicht. Die Anstrengungen, die schon vor mehr als 1900 Jahren zur Berechnung dieser Werte unternommen wurden, unterstreichen nicht nur deren Bedeutung, sondern beleuchten vor allem das grosse Geschick der Naturforscher und Mathematiker damaliger Zeiten im Umgang mit der Geometrie. Dazu hat er Ptolemaios Satz ueber das Sehnenviereck ausgewaehlt, der noch heute in den Schulbuechern steht, aber im Unterricht wohl nicht mehr behandelt wird. Der Autor zeigt sodann beispielhaft, wie durch die Entwicklung der Infinitesimalrechnung den Astronomen der beginnenden Neuzeit endlich die lange gesuchten Mittel an die Hand gegeben waren, schnell und zu Fuss nummerische Rechnungen mit der notwendigen bzw. gewuenschten Genauigkeit durchzufuehren.

Schlagwörter: Winkel, Trigonometrie, Dreieck, Astronomie, Taylorreihe, Mathematik, Bildungsgeschichte

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Autor: Brochhagen, Hermann Josef
Titel: Unendliche Reihen im Unterricht eines Leistungskurses Mathematik.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2003) 2, S. 14–63

Abstract: Ausfuehrlicher Bericht ueber eine Unterrichtsreihe im Leistungskurs 13. Die Unterrichtsreihe fuehrt ohne historische Rueckgriffe ueber Kreisbogenspiralen direkt zu den Problemen von Konvergenz und Divergenz von Reihen. Eine Fuelle von Beispielen, die an einem in seiner Leistungsfaehigkeit bescheidenen, dadurch zur Provokation von Fragen aber um so wertvolleren Computerprogramm untersucht werden, sorgt fuer einen natuerlichen Fragenkatalog, der zugleich wesentliche inhaltliche Ziele der Unterrichtsreihe beschreibt. Beispiele dienen vorwiegend der Uebung, sind aber zugleich vielfach so gewaehlt, dass sie neue Fragen provozieren, die sich an den jeweiligen Stellen im allgemeinen noch nicht beantworten lassen, die aber bewusst festgehalten werden, um an gegebener Stelle und zu gegebener Zeit beantwortet zu werden. So erweist sich die Unterrichtsreihe als ein – ueberwiegend – natuerliches Fortschreiten von Problem zu Problem. Der Beitrag versucht ausserdem zu verdeutlichen, dass das Lernen im Zentrum des Unterrichts stand, wozu auch die Sorgfalt und Muehsal der Dokumentation von erarbeiteten Sachverhalten gehoert. Dabei werden die aufgetretenen Schwierigkeiten und zeitweiligen Frustrationen, aber auch die Versuche ihrer Aufarbeitung nicht verschwiegen.

Schlagwörter: Bildungsziel, Sekundarstufe II, Lehrgang, Unterrichtsentwurf, Unterrichtsform

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Autor: Fuehrich, Arnold
Titel: Einfache Anwendungen unendlicher Reihen.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2003) 2, S. 64–75

Abstract: Hier wird an Beispielen ein Einblick in Anwendungsgebiete unendlicher Reihen gegeben. Im ersten mehr theoretisch orientierten Teil ergibt sich die Loesung linearer Gleichungssysteme in Form unendlicher geometrischer Reihen. Der Berechnung von Grenzwerten und Ermittlung von Grenzfunktionen ist der zweite Teil gewidmet. Dann werden Naeherungsformeln mithilfe einer Reihenentwicklung hergeleitet. Im letzten Abschnitt wird eine auch in der Geodaesie verwendete Formel mithilfe von Reihen auf ihre Genauigkeit hin untersucht.

Schlagwörter: Geometrie, '>Funktion $,\; System,\; \text{'}>Konvergenz$ ,\; Lineare\; Gleichung,\; Approximation$$

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Autor: Bayer, Wolf
Titel: Hyperbolische Funktionen und die Zyklen der Differenzialrechnung. Eine Einheit fuer den LK 12 zur Einfuehrung der Taylorreihen.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2003) 2, S. 76–85

Abstract: Der Beitrag von Wolf Bayer ueber Zyklen endlicher Perioden bei trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen rundet das Heft ab. Zum Einen werden solche Funktionen als Taylorreihen dargestellt, zum Anderen lassen sie sich als (endliche) Summen aus Exponential- und trigonometrischen Funktionen formulieren. Dabei werden einige bemerkenswerte Eigenschaften aufgezeigt. Schliesslich macht der Verfasser auf eine Verbindung zur Chaostheorie aufmerksam und weist auf weiterfuehrende Literatur hin.

Schlagwörter: '>Funktion $,\; Trigonometrie,\; Exponentialfunktion,\; Taylorreihe,\; Mathematikunterricht,\; Kurvendiskussion$

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