Zum Wechselspiel zwischen Figuren und Zahlen

Autor: Zimmermann, Bernd
Titel: Darstellungswechsel als eine wichtige Methode zur Loesung von Problemen – schon in der Geschichte der Mathematik.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2003) 6, S. 6–15

Abstract: Der Autor zeigt in seinem Beitrag anhand von Beispielen aus verschiedenen Zeiten und Kulturen auf, dass die Wahl bzw. der Wechsel einer geeigneten Repraesentation einer Situation oder eines mathematischen Problems eine wesentliche Komponente erfolgreichen Problemloesens darstellt. Er befasst sich mit Blick auf moegliche Verwendungs- und Nutzungsmoeglichkeiten im heutigen Unterricht u. a. damit, wann und wie sich verschiedene Repraesentationen mathematischer Objekte entwickelt haben, und wann und wie Repraesentationswechsel zur Loesung mathematischer Probleme eingesetzt wurden.

Schlagwörter: Wissenschaftsgeschichte, Problemlösen, Mathematikunterricht, Mathematik

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Autor: Winter, Heinrich
Titel: Zahlentheorie im Quadratgitter.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2003) 6, S. 16–25

Abstract: Trotz seines denkbar einfachen Aufbaus und seiner anspruchslosen zeichnerischen Herstellung ist das Quadratgitter (QG) eine ganz erstaunlich reiche Quelle fuer mathematische Fragestellungen und Loesungsmethoden. Besonders lohnend ist die Verknuepfung von geometrischen mit arithmetischen Fragestellungen und Sachverhalten (Winter, 1999 a), und darum geht es in diesem Beitrag. Es soll ein Mosaik an Moeglichkeiten – hauptsaechlich die SI im Auge – skizziert werden, vor allem mit dem Ziel, das hohe heuristische Potenzial der Verknuepfung von Geometrie und Arithmetik am Beispiel des QG aufzuzeigen: – Arithmetisierung praezisiert, systematisiert und formalisiert das geometrische Denken, Geometrisierung mobilisiert, modelliert und aesthetisiert das arithmetische Denken. – Arbeiten am QG befoerdert besonders stark die Lust an Eigenproduktionen. – Wichtige heuristische Problemloesestrategien (insbesondere Induktionen, Analogien und Analysis-Synthesis-Prozeduren) werden geuebt. – Algebraische Denkweisen, die arithmetische und geometrische uebersteigen und verbinden, koennen installiert und geschult werden. – Der hohe aesthetische Gehalt (etwa in Gegensaetzen wie symmetrisch/asymmetrisch, diskret/kontinuierlich, einfach/komplex) befoerdert paedagogisch wuenschenswerte emotionale, speziell motivationale Bindungen an die Sache (Vorbemerkungen).

Schlagwörter: Beweisen, Figurierte Zahl, Zahlentheorie, Geometrie, Quadrat, Heuristik, Problemlösen

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Autor: Heinrich, Frank
Titel: Beziehungen zwischen Parketten und Zahlenfolgen.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2003) 6, S. 26–37

Abstract: Der Autor entwickelt in seinem Beitrag ein einheitliches Aufbau- bzw. Erzeugungsprinzip von Parketten und verwandten Figurationen und gibt Entsprechungen in Form von Zahlenfolgen an. Das ermoeglicht nicht nur Vergleiche zwischen diesen geometrischen Gebilden in formenkundlicher Hinsicht, sondern zugleich auch in arithmetischer (und algebraischer) Hinsicht. Auf weitere Potenzen dieses Themenkreises u. a. im Hinblick auf die Ausbildung von fundamentalen Denktaetigkeiten und geistigen Grundtechniken wird exemplarisch eingegangen.

Schlagwörter: Geometrie, '>Folge $,\; Algebra,\; Problemlösen,\; Parkettierung$

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Autor: Ulm, Volker
Titel: Wechselspiele zwischen Figur und Zahl mit dynamischer Mathematik erleben.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2003) 6, S. 38–49

Abstract: Lehrplaene wie Schulbuecher gliedern die Schulmathematik in der Regel in Teildisziplinen wie Geometrie, Arithmetik/Algebra oder Analysis und bilden Jahrgangsstufen uebergreifende Themenstraenge heraus. Beim Problemloesen stehen die Schueler allerdings oftmals der Notwendigkeit gegenueber, Verbindungen zwischen diesen Bereichen herzustellen und flexibel zwischen verschiedenen Standpunkten zu wechseln: In geometrischen Situationen sind Groessen rechnerisch zu erfassen und funktionale Abhaengigkeiten zu erschliessen, algebraische Ausdruecke werden als funktionale Zusammenhaenge aufgefasst oder geometrisch interpretiert. Im Folgenden wird aufgezeigt, wie dynamische Arbeitsblaetter als Werkzeuge dienen koennen, um derartige Wechselwirkungen zwischen Geometrie, Algebra und Analysis erfahrbar zu machen. Gleichzeitig wird deutlich, wie sich selbstaendiges, eigenverantwortliches und kooperatives Arbeiten der Schueler mit dynamischer Mathematik realisieren laesst. (Einleitung).

Schlagwörter: Software, Unterrichtsziel, '>Funktion $,\; Computerprogramm,\; Unterricht,\; Problemlösen,\; Mathematikunterricht,\; Innermathematische\; Anwendung,\; Mathematik$

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Autor: Krause, Werner; Seidel, Gundula; Heinrich, Frank
Titel: Ueber das Wechselspiel zwischen Rechnen und bildhafter Vorstellung beim Loesen mathematischer Probleme. Eine neurowissenschaftliche Studie zum Vergleich mathematisch Hoch- und Normalbegabter.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2003) 6, S. 50–62

Abstract: Im abschliessenden Beitrag des MU-Heftes Zum Wechelspiel zwischen Figuren und Zahlen der Autoren Krause/Seidel/Heinrich wird basierend auf einer Analyse mathematischen Denkens mit experimentalpsychologischen und neurowissenschaftlichen Methoden Leistungsunterschieden zwischen mathematisch Hochbegabten und Normalbegabten nachgegangen. Ziel ist es dabei vor allem, subjektive Urteile ueber mathematische Denkleistungen zu objektivieren. Die Autoren setzen sich u. a. mit den Fragen auseinander, ob sich bessere Leistungen Hochbegabter beim Loesen mathematischer Probleme (einer bestimmten Problemklasse) auf das (intensivere) Wechselspiel zwischen Rechnen und bildhafter Vorstellung zurueckfuehren lassen, ob Hochbegabte Strategien besser verfuegbar haben und ob Hochbegabte einen geordneteren Denkablauf zeigen.

Schlagwörter: Individueller Unterschied, Begabung, Fähigkeit, Denken, Repräsentationsmodus, Hochbegabung, Kognitionspsychologie, Hoch Begabter

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