Jenny Weihers, Andreas Büchter
Erkundungen zur Orthogonalität als Hinführung zum Skalarprodukt und zur Winkelberechnung im Raum
Manchmal sind es auch besondere Einbettungen und motivierende Kontexte, die aus klassischen Aufgaben besondere Unterrichtsstunden entstehen lassen.
Die hier vorgestellte Unterrichtsreihe zur Linearen Algebra und Analytischen Geometrie stellt keine grundlegend anders gestaltete Alternative etwa zu den Einstiegen und Lernangeboten der Schulbücher dar (vgl. etwa die Darstellung in Schmidt 2009 oder Klöckner u. a. 2016). Er geht aber von einer motivierenden fiktiven Situation aus und nimmt die zur Verfügung stehende Unterrichtszeit und die (raum-)geometrischen sowie algebraischen Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler als Randbedingung bzw. Lernausgangslage ernst. Die mehrfache Erprobung und Weiterentwicklung haben gezeigt, dass die Gestaltung der Aufgaben und der Unterrichtsreihe insgesamt gut geeignet sind, einige wesentliche Aspekte eines zeitgemäßen Mathematikunterrichts umzusetzen.
Ansatz und Zielsetzungen der Unterrichtsreihe
Ausgehend von der Fragestellung, wie man feststellen kann, ob zwei gegebene Geraden bzw. Vektoren im ℝ3 orthogonal zueinander sind, wird in der Unterrichtsreihe das Skalarprodukt als Werkzeug zur Berechnung von Längen, zur rechnerischen Charakterisierung von Orthogonalität und zur Winkelberechnung erarbeitet. Dies geschieht mit moderater Lenkung nach dem Ansatz des entdeckenden Lernens (vgl. Winter 2016). Dabei wird eine wesentliche Frage der Raumgeometrie betrachtet:
Wie die Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden im ℝ3 optisch wahrgenommen werden, hängt entscheidend von der Perspektive des Betrachters ab.
In der Unterrichtsreihe wird den Schülerinnen und Schülern zunächst Raum gegeben – anknüpfend an ihre Vorkenntnisse –, die geometrische Situation im Sinne eines reichhaltigen Problemlösens selbst zu erkunden und selbst auf Möglichkeiten der rechnerischen Charakterisierung von Orthogonalität zu stoßen. Die erforderliche Koordinatisierung der Ausgangssituation ist dabei zwar weitgehend angebahnt, aber noch nicht vollständig geleistet. Gestützt durch geeignete Hilfen, werden die Schülerinnen und Schüler in die Begründung der rechnerischen Charakterisierung von Orthogonalität und später in die Begründung der Winkelberechnung mit dem Skalarprodukt aktiv einbezogen. Durch Hilfestellungen und Unterstützung, die insbesondere bei vertieften rechnerischen Anforderungen gestuft eingesetzt werden können, ist eine angemessene Binnendifferenzierung möglich. Dadurch kann die Unterrichtsreihe mit weitgehend vergleichbaren Zielen in Bundesländern mit äußerer Leistungsdifferenzierung in der gymnasialen Oberstufe sowohl im Grundkurs als auch im Leistungskurs (bzw. grundlegendes und erhöhtes Niveau) eingesetzt werden.
Neben den rein stofflichen Zielen (Skalarprodukt, Orthogonalität, Längen- und Winkelberechnung) werden also als weitere wesentliche Ziele verfolgt: Schulung der Raumanschauung (Bedeutung der Perspektive), des Koordinatisierens, Problemlösens und Argumentierens.
Durchführung der Unterrichtsreihe
Die Unterrichtsreihe steigt mit einer eingekleideten Aufgabe (s. Arbeitsblatt 1 ) ein, die erkennbar keinen bedeutenden Realitätsbezug darstellen soll, aber erfahrungsgemäß die Schülerinnen und Schüler „mit einem Augenzwinkern“ motiviert, sich gedanklich intensiver mit der problemhaltigen Situation auseinanderzusetzen. Wir haben die Simpsons (bzw. zunächst Ned Flanders und Reverend Lovejoy) diskutieren lassen, die wir hier jedoch aus rechtlichen Gründen nicht…
