Michael Marxer, Sybille Weißhaar
Wer mit trigonometrischen Werkzeugen arbeiten will, sollte die Grundidee erfassen: Die Formalisierung der Beziehung zwischen Seitenverhältnissen und Winkeln im Dreieck. Im Unterricht kann dazu auf die zahlreichen Inhalte, bei denen Verhältnisse bereits eine Rolle gespielt haben, zurückgegriffen werden.
Mit einer 9. Realschulklasse gingen wir der Frage nach, wie man die Steilheit von Skipisten vergleichbar machen kann (Arbeitsblatt 1): Welche schon bekannten „mathematischen Werkzeuge“ lassen sich zum Lösen hier verwenden? Die Aufgabe setzten wir ein, um den engen Zusammenhang zwischen Seitenverhältnissen und Winkeln im Dreieck entdecken zu lassen – und damit die Grundidee der Trigonometrie zu verstehen.
Da es für Alltagsprobleme selten eindeutige Handlungsanweisungen gibt, die man auswendig lernen kann, ist es sinnvoll, auch im Unterricht immer wieder Aufgaben einzubringen, die zwei Aspekte deutlich machen:
- Das „passende“ mathematische Werkzeug ist nicht von vornherein klar, möglicherweise führen auch mehrere verschiedene Werkzeuge zum Ziel,
- und umgekehrt lassen sich mit einem bestimmten Werkzeug ganz unterschiedliche Probleme lösen.
Zum zweiten Aspekt passt es, Schülerinnen und Schüler strukturgleiche Aufgaben bearbeiten und diskutieren zu lassen.
Eine Situation und viele mathematische Werkzeuge
Methodisch in eine Ich- und eine Wir-Phase gegliedert, sollten möglichst viele Möglichkeiten gefunden werden, mit denen die Steilheit von Skipisten beschrieben und in eine Reihenfolge gebracht werden kann (Arbeitsblatt 1 ). Die Schülerinnen und Schüler erkannten dabei einerseits, dass die Steilheit – sofern eine allgemeine Aussage getroffen werden soll – als Verhältnis von zwei Zahlen angegeben werden muss. Andererseits suchten verschiedene Schülerinnen und Schüler nach Möglichkeiten, Steilheit mit einer einzigen Zahl zu quantifizieren.
Blick auf Schülerlösungen
Die Schülerlösungen in Abb. 1 zeigen sehr anschaulich, dass beide Wege (Beschreibung als Verhältnis oder durch eine einzige Zahl) Erfolg haben können: Schülerlösung 1 macht klar: Die Steilheit hängt von zwei Größen ab –der (vertikalen) Höhe und der horizontalen Strecke, nur die kombinierte Verwendung führt zu seiner sinnvollen Aussage.
Das rechtwinklige Dreieck ist für die modellhafte Veranschaulichung einer Bergabfahrt eine geeignete Form – dies wird auch in Schülerlösung 2 erkannt. Weiterführend enthält diese Lösung eine Idee zur Verallgemeinerung/Vereinheitlichung, indem vorgeschlagen wird, den Quotienten aus horizontaler Länge und vertikaler Höhe zu berechnen.
Auch Schülerlösung 3 greift diesen Ansatz auf. Die Idee dabei ist: Das Problem „Steilheit“ wird auf eine einzige Zahl reduziert. In einer Matrix wird das Verhältnis von ausgewählten Höhen und Längen gebildet, dadurch werden unterschiedliche Kombinationen vergleichbar. So ergeben 50 m Höhenunterschied auf einer ebenen Strecke von 20 m den Wert 2,5 und auf einer ebenen Strecke von 30 m ungefähr den Wert 1,6. Doch welche Abfahrt ist nun steiler? Auch wenn dieser Schülergruppe die Interpretation der errechneten Werte nicht gelingt (tatsächlich bedeutet ein kleinerer Wert eine weniger steile Abfahrt), so nutzen sie – vermutlich ohne sich der Bedeutung für die Trigonometrie bewusst zu sein – das „Werkzeug“ Verhältnisse.
Würde man das Verhältnis aus vertikaler und horizontaler Strecke bilden, so ließe sich ein allgemeines Maß für die Steilheit eines Berges – wie Schülerlösung 4 vorschlägt – auch prozentual angeben.
Schül…
