Torsten Linnemann, Kathleen Philipp
Explorative Einführung in Geradengleichungen und lineare Funktionen
„Und jetzt fangen wir etwas ganz Neues an. Funktionen. Das sind Zuordnungen, jedem x wird ein y zugeordnet.“ – Was würden Ihre Schülerinnen und Schüler zu dieser Begrüßung wohl sagen? Vermutlich nicht viel, denn das Thema lineare Funktionen ist eher wenig anschlussfähig an die Mathematik, die vorher unterrichtet wurde. Auch wenn vorab schon Zuordnungen und Funktionsgraphen betrachtet wurden – der Sprung in die algebraisch gegebenen Funktionsgleichungen ist groß.
Wir stellen hier einen anderen Zugang zum Thema lineare Funktionen vor, der eine Brücke bauen möchte. Der Weg führt von der Arithmetik zur Algebra und weiter zu Geradengleichungen (s. Arbeitsblatt 1 /2 ). Dabei geht es zu Beginn noch nicht schwerpunktmäßig um das funktionale Denken. Zuordnungs-, Kovariations- und Ganzheitsaspekt der Funktionen werden angelegt, sie werden aber nicht vom Formalismus überdeckt. Wert, Argument, Definitionsbereich, f(x) – all das wird nicht benötigt. Das Denken in funktionalen Zusammenhängen ist möglich, aber nicht so essenziell wie beim üblichen Einstieg über Funktionen.
Neben der Bedeutung als Einstieg in die algebraische Behandlung von Geradengleichungen ist das Explorieren, also das Bilden von Beispielen und Vermutungen sowie das Testen von Hypothesen ein zentraler Gegenstand des Unterrichts.
Eine Lernumgebung – viele Einsatzmöglichkeiten
Die Lernumgebung kann ganz oder teilweise im Unterricht eingesetzt werden. Die angesprochenen Kontexte eignen sich zum Einsatz in unterschiedlichen Altersstufen (so lassen sich Zahlenmauern oder Fibonacci-Folgen schon in der Primarstufe oder im 5. Schuljahr erkunden). An Erkenntnisse daraus kann man zu einem späteren Zeitpunkt auf einem höheren Niveau anknüpfen und mit ihnen weiterarbeiten.
Über den schulischen Einsatz hinaus haben wir die Lernumgebung auch in der Lehrerausbildung genutzt. In diesem Beitrag stellen wir Lösungen von Jugendlichen und von Studierenden des Lehramts vor, um so die möglichen Bearbeitungsstrategien und die Bearbeitungstiefe sichtbar zu machen.
Auf dem Weg zu Geradengleichungen
In dieser Lernumgebung wird auf Geradengleichungen hingeführt. Der Zusammenhang mit Fibonacci-Zahlen bietet eine niedrige Einstiegshürde. Die Aufgabe, eine bestimmte Zielzahl zu erreichen (Arbeitsblatt 1, Auftrag 1), ist aus der didaktischen Grundschulliteratur bekannt. Die klare Strukturierung der Aufgabe regt ein systematisches Vorgehen beim Explorieren an. Die weiteren Aufträge der Lernumgebung sind vom Kontext her unabhängig – führen aber weiter zur Geradengleichung. Auftrag 4 greift die Fibonacci-Folgen auf und kann am Ende der Einheit zur Überprüfung der Lernziele eingesetzt werden. Die Aufträge können von den Lernenden in Einzelarbeit oder in Zweiergruppen bearbeitet werden. Zwischenergebnisse können zunächst in kleinen Gruppen ausgetauscht und im Plenum diskutiert werden. So entstehen Anregungen und Impulse für die Weiterarbeit, die nicht nur von der Lehrperson kommen müssen.
1. Auftrag: Fibonacci-Folgen
Die erste Teilaufgabe dient dazu, sich mit dem Kontext vertraut zu machen. Indirekt liefert sie aber einen ersten Hinweis zur späteren Algebraiserung. Wichtig sind hier die Beispiele, genau wie im Aufgabenteil b). Typische beispielorientierte Strategien des Explorierens kommen so zum Tragen (vgl. Abb.1
): Beispiele generieren, diese strukturieren, dann Hypothesen aufstellen und diese anhand von Beispielen (und ggf. durch allgemeine Überlegungen) überprüfen.
Die Aufgabenteile c)…
