Andreas Büchter
Negative Zahlen: jünger als positive Bruchzahlen – und auch schwieriger!?
Aus der Entstehungsgeschichte der negativen Zahlen ergeben sich Konsequenzen für deren Behandlung im Unterricht.
Während die Babylonier bereits vor ca. 4000 Jahren souverän mit Systembrüchen zur Basis 60 gerechnet und für praktische Zwecke ausreichend gute Näherungen der Quadratwurzel von 2 bestimmt haben (Abb. 1
), wurde noch vor 400 Jahren in Europa um die Anerkennung von negativen Zahlen als mathematische Objekte gerungen. Zeitlich und mit Blick auf ihre mathematische Begründung liegen sie damit nahe an den komplexen Zahlen (s. Euler, 1767).
Im Mathematikstudium führt der fachsystematische Weg durch die Zahlbereiche hingegen von Axiomen und Modellen für natürliche Zahlen über die ganzen Zahlen hin zu den rationalen Zahlen und weiter zu den reellen sowie komplexen Zahlen. Die negativen Zahlen treten hier also vor den positiven Bruchzahlen auf. Die Schwierigkeit, die mit der Akzeptanz negativer Zahlen („weniger als Nichts“) einhergeht, wird dabei nicht erkennbar.
Historisch-genetische und psychologisch-genetische Perspektive
Ein Blick in die Geschichte der Mathematik kann auch beim Weg durch die Zahlbereiche dazu beitragen, Vorstellungsschwierigkeiten und Akzeptanzprobleme, die im Lernprozess mit neuen mathematischen Konstrukten (z. B. negativen Zahlen) einhergehen können, bewusst aufzugreifen. Welche Vorstellungsschwierigkeiten hatten Mathematikerinnen und Mathematiker bei deren (Er-)Findung? Welche Akzeptanzprobleme gab es in der damaligen „mathematischen Gesellschaft“? Diese historisch-genetische Perspektive korrespondiert mit einem Unterricht, in dem die Schülerinnen und Schüler (angeleitet) Mathematik als Antwort auf außer- oder innermathematische Fragen entwickeln.
Demgegenüber nimmt die psychologisch-genetische Perspektive direkt die jeweiligen Vorstellungsschwierigkeiten und Akzeptanzprobleme von Schülerinnen und Schülern in den Blick und fragt danach, auf der Basis welcher Anregungen und Tätigkeiten sie sich Mathematik individuell aneignen können.
Beide Perspektiven ergänzen sich, wenn sie aufeinander bezogen werden: Die historisch-genetische Perspektive sensibilisiert für die Herausforderungen, die mit der Erfindung oder Aneignung einhergehen können, und berücksichtigt die Kontexte, aus denen heraus damals Mathematik geschaffen wurde. Auch wenn die historischen Kontexte häufig zu komplex für den Unterricht sind, liefern sie doch Anhaltspunkte für wesentliche inhaltliche Kerne aktueller Kontexte, aus denen heraus mit Schülerinnen und Schülern die entsprechende Mathematik entwickelt werden kann. Die psychologisch-genetische Perspektive, die sich mit den Lernprozessen heutiger Schülerinnen und Schüler auseinandersetzt, kann andersherum verständlich machen, warum sich Mathematikerinnen und Mathematiker an bestimmten Stellen damals schwergetan haben.
Lange bekannt: Positive Bruchzahlen und irrationale Zahlen als Größen
Wenn man auf die etwa 4000 Jahre alten Keilschrifttafeln der Babylonier schaut, so überwiegt vermutlich der große Respekt vor der kulturellen Leistung. Die Berechnungen in Abb. 1 zeigen, dass damals mit Näherungswerten für die Quadratwurzel von 2 gearbeitet wurde, die für die jeweiligen Anwendungskontexte hinreichend präzise waren. Dazu hat auch das effiziente Sexagesimalsystem mit der teilerreichen Basis 60 beigetragen. Die Berechnungen in Abb. 1 stützen sich wesentlich auf das Arbeiten mit Systembrüchen, also positiven Bruchzahlen in einer Darstellung als echter Bruch, in dessen Nenner eine…
