Gilbert Greefrath, Volker Ulm
Ein Ziel des Mathematikunterrichts ist es, ein umfassendes Bild zum Integralbegriff zu vermitteln. Dabei sind Grundvorstellungen – also inhaltliche, sinngebende Deutungen von Begriffen – ein wesentlicher Bestandteil (Greefrath u. a. 2016, S. 17). Doch wie können Schülerinnen und Schüler Grundvorstellungen zum Integral entwickeln und möglichst dauerhaft verankern? Visualisierungen im Unterricht können sich hier als ausgesprochen wirkungsvoll erweisen. Mit ihnen lassen sich mathematische Sachverhalte einprägsam erfassen. Sie können als „Kristallisationspunkte“ zur Entwicklung von Grundvorstellungen dienen und können helfen, Grundvorstellungen – auch langfristig – im Gedächtnis zu behalten. Hierfür eignen sich sowohl statische Bilder z. B. im Schulbuch oder an der Tafel als auch bewegliche Konstruktionen mit Software für dynamische Mathematik. Letztere besitzen den Mehrwert, dass durch ihre Veränderbarkeit verschiedene Ausprägungen eines Sachverhalts und funktionale Zusammenhänge eindrucksvoll erfahrbar sind. Wir illustrieren dies im Folgenden an vier Grundvorstellungen zum bestimmten Integral.
Grundvorstellung „Rekonstruktion“
Ein typischer Zugang zum bestimmten Integral zielt auf die Grundvorstellung der Rekonstruktion ab:
Ein bestimmtes Integral rekonstruiert die Gesamtänderung einer Größe aus ihrer Änderungsrate während eines Zeitintervalls.
Bekannte Anwendungskontexte für diesen Zugang sind die Rekonstruktion eines zurückgelegten Weges aus gegebenen Geschwindigkeitsdaten (z. B. Hußmann 2003) oder die Rekonstruktion der Gesamtänderung eines Wasservolumens (z. B. in einem Stausee oder einer Badewanne) aus Daten über die Zu- und Abflussgeschwindigkeit (Kasten 1).
Die Lernenden sind bei diesem Zugang gefordert, im Sachkontext dem Produkt aus Zufluss (in und Zeit (in h) eine inhaltliche Bedeutung zu geben: In Phasen, in denen der Zufluss konstant ist, ist dieses Produkt die Änderung des Wasservolumens im See (in m3). Betrachtet man den gesamten Zeitraum von zehn Stunden, sind vier solche Produkte relevant. Die Gesamtänderung des Wasservolumens ist damit folgende Produktsumme:
V = 2h · 40 + 3h · 80 – 1h · 60 – 4h · 20 = 180
Dieses Ergebnis ist der Wert des Integrals ∫ f(t) dt zur dargestellten Funktion f. Die Rechnungen ergeben sich aus dem Kontext und den gegebenen Daten. Aus der Sachsituation wird unmittelbar einsichtig, dass zwei Summanden positiv und zwei Summanden negativ zu gewichten sind, da sie jeweils eine Zu- bzw. Abnahme des Wasservolumens ausdrücken.
Dieses Beispiel fördert die Grundvorstellung des bestimmten Integrals als Gesamtänderung einer Größe. Dabei dient das Bild des Funktionsgraphen Lernenden dazu, Verständnis für den mathematischen Gehalt der Situation und die inhaltliche Bedeutung des Integrals zu entwickeln. Flächeninhalte unter Graphen spielen bei diesem…
