Spiegelungen

Der Mathematikunterricht Nr. 6/2002

Bestellnummer: 524108
Medienart: Zeitschrift
Erscheinungsdatum: Dezember 2002
Schulfach / Lernbereich: Mathematik
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Verantwortlich für den Thementeil in diesem Heft: Arnold Führich

Zur Einführung von Arnold Führich

Spiegelungen an Geraden in analytischer Formulierung von Arnold Führich und Hartmut Nimz

Spiegelungen an Kreisen und stereographische Projektion von Arnold Führich und Hartmut Nimz

Geometrie mit Zirkel, aber ohne Lineal (Mascheronische Konstruktionen) von Florian Borges

Spiegelungen an Geraden in der komplexen Ebene von Arnold Führich

kleingedrucktes:

Autor: Fuehrich, Arnold; Nimz, Hartmut
Titel: Spiegelungen an Geraden in analytischer Formulierung.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2002) 6, S. 4–21

Abstract: Zu einer gegebenen Geraden g und einem gegebenen Punkt P, die beide in der Ebene E liegen, ist der Spiegelpunkt $P\sb s$ von P bei Spiegelung an g zu bestimmen. Konstruktiv bereitet das Problem keine Schwierigkeiten. Sucht man eine Loesung mit analytischen Hilfsmitteln, so ergibt sich fuer die Lehrkraft die Frage, welcher der moeglichen Herleitungswege im Unterricht gewaehlt werden soll. In den Ueberlegungen hierzu werden die im Unterricht behandelten notwendigen Grundlagen und auch die Ziele, die erreicht werden sollen, eine Rolle spielen. Hier wird ein Weg beschrieben, der am Anfang mit einfachen Mitteln auszukommen und nicht gleich volle Allgemeinheit zu erreichen versucht, der aber die Moeglichkeit offen laesst, Ergaenzungen anzufuegen und weiterreichende Mittel fuer umfassendere Betrachtungen einzusetzen gestattet. Am Schluss Herleitung des Dreispiegelungssatzes fuer parallele bzw. kopunktuale Geraden.

Schlagwörter: Vektor, Lineare Algebra, Koordinatensystem, Achsenspiegelung, Abbildungsgeometrie, Mathematikunterricht, Geradengleichung, Lösungsalgorithmus


Autor: Fuehrich, Arnold; Nimz, Hartmut
Titel: Spiegelungen an Kreisen und stereographische Projektion.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2002) 6, S. 22–45

Abstract: Analytisch-geometrische Betrachtungen, wobei auf einen mechanischen Inversor (ein auf Spiegelung am Kreis beruhender Gelenkmechanismus) eingegangen wird. Behandlung der stereographischen Projektion und Nachweis der Eigenschaften winkeltreu und kreistreu.

Schlagwörter: Komplexe Zahl, Kugel


Autor: Borges, Florian
Titel: Geometrie mit Zirkel, aber ohne Lineal (Mascheronische Konstruktionen).
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2002) 6, S. 46–54

Abstract: Eine zwar keinesfalls neue, aber nach wie vor sehr reizvolle Frage im Geometrieunterricht koennte sein, ob die ohnehin spartanische Ausruestung mit Zirkel und Lineal bereits minimal ist oder ob der Zirkel alleine auch genuegen wuerde. Ausser dem Daenen Georg Mohr (1640–97) hat sich vor allem der italienische Mathematiker Lorenzo Mascheroni (1750–1800) seinerzeit mit diesem Problem beschaeftigt. Im Jahre 1797 erschien dann endlich sein Werk Geometrica del compasso mit allen notwendigen Nachweisen dafuer, dass das Lineal tatsaechlich zu entbehren ist. Seine gesamte muehevolle Arbeit erwies sich aber ploetzlich durch eine sehr einfache Ueberlegung in August Adlers (1863–1923) Die Theorie der Mascheronischen Konstruktionen (1890) als nicht mehr notwendig; die Schluesselidee dabei war eben die Verwendung der Inversion. Nach Einfuehrung der Kreisspiegelung, die bereits in der neunten Klasse mit der Satzgruppe von Pythagoras besprochen werden kann, liegt die Argumentation auf der Hand: Weil naemlich Geraden bei der Kreisspiegelung meist auf Kreise abgebildet werden und Kreise ebenfalls meist auf Kreise, laesst sich stets eine geeignete Inversion finden, die eine Konstruktion aus Kreisen und Geraden auf eine Konstruktion nur aus Kreisen abbildet. Diese laesst sich mit dem Zirkel erledigen, Rueckversion (ebenso nur mit Zirkel!) liefert die gewuenschten Konstruktionspunkte auch ohne Lineal. Zunaechst soll nach einer Zusammenfassung wichtiger Eigenschaften dieser Abbildung die reine Zirkelinversion eines Punktes besprochen werden. (Einleitung).

Schlagwörter: Wissenschaftsgeschichte, Abbildungsgeometrie, Geometrische Konstruktion, Geometrieunterricht, Mathematikunterricht, Grundkonstruktion, Kreis , Kreisspiegelung, Mathematik


Autor: Fuehrich, Arnold
Titel: Spiegelungen an Geraden in der komplexen Ebene.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2002) 6, S. 55–65

Abstract: Es wird gezeigt, dass uns mit den komplexen Zahlen ein exzellentes Hilfsmittel auch zur Beschreibung von Spiegelungen gegeben ist. Inhalt: Herleitung einer Spiegelungsformel zur Spiegelung eines Punktes an einer Geraden, Nacheinanderausfuehrung von Spiegelungen an parallelen Geraden, Nacheinanderausfuehrung der Spiegelung an drei kopunktalen Geraden.

Schlagwörter: Achsenspiegelung, Analytische Geometrie, Komplexe Zahl


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