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Ungleichungen

Der Mathematikunterricht Nr. 5/2009

Bestellnummer: 524149
Medienart: Zeitschrift
Erscheinungsdatum: Oktober 2009
Schulfach / Lernbereich: Mathematik
Seitenzahl: 65
Preis: 21,50 € *
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Aus dem Inhalt:

  • Ungleichungen mit elementaren Funktionen
  • Eine "pythagoreische" Ungleichung
  • Von Ungleichungen, die nicht "gelöst" werden wollen

Autor: Popa-Fischer, Anca
Titel: Ungleichungen mit elementaren Funktionen.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2009) 5, S. 4–14

Abstract: Die Autorin stellt methodisches Rüstzeug zur Analyse des Termaufbaus aus reellen Grundfunktionen und zur Bestimmung von Lösungsmengen bereit und führt dazu zahlreiche originelle Aufgabenbeispiele durch. Über das Basisrepertoire (Quadratische Funktion, Exponentialfunktion und Logarithmus) hinaus entwickelt sie schließlich auch einen Einstieg in das anspruchsvollere Gebiet der trigonometrischen Ungleichungen.; The author provides some methodological tools for the analysis of terms made of elementary functions and for the determination of solution sets. She also presents and solves some examples for original problems. Over and above the basic repertoire (quadratic functions, exponential functions and logarithms), she finally develops an introduction into the more demanding topic of trigonometric inequalities.

Schlagwörter: Lösung, Extremwert , Funktion , Transzendente Funktion, Ungleichung, Potenzrechnung, Analysis, Propädeutik


Autor: Schreiber, Alfred; Vargyas, Emese
Titel: Die Jensensche Ungleichung.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2009) 5, S. 16–32

Abstract: Der Beitrag ist der berühmten Jensenschen Ungleichung gewidmet. Diese ist unter anderem dadurch bedeutsam, dass sie für alle konvexen Funktionen gilt, mithin eine große Klasse allgemeingültiger Ungleichungen beschreibt. Die Autoren demonstrieren ihre bestechende Einfachheit, machen sie in einem elementargeometrischen Zusammenhang einsichtig und verknüpfen sie mit grundlegenden (schulmathematischen) Sachverhalten der Analytischen Geometrie und Analysis. – Viele Ungleichungen lassen sich auf die Jensen-Ungleichung zurückführen, indem man eine passende konvexe Funktion sucht.; The article addresses itself to the famous Jensens inequality. Among other things, it is important because it is valid for all complex functions, and therefore describes a large class of generally valid inequalities. The authors describe its delightful simplicity, explain it in an elementary geometric context, and associate it with basic (school mathematical) issues of Analytic Geometry and Calculus. – Many inequalities can be reduced to the Jensen inequality by looking for a suitable convex function.

Schlagwörter: Theorie, Verallgemeinerung, Spezialisierung, Differenzierung, Funktion , Ungleichung, Konvexität, Arbeitsteilige Spezialisierung


Autor: Popa-Fischer, Anca
Titel: Mittelmaß und Optimum.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2009) 5, S. 34–41

Abstract: The article discusses some of the most important applications – i.e. specializations – of the Jensen inequality; they lead to the well-known inequalities between the mean values that are related to the arithmetical mean. The author describes a general scheme that can be used to gain optimum statements from the inequalities, and illustrates this with telling examples.; In dem Beitrag werden einige der wichtigsten Anwendungen, d. h. Spezialisierungen, der Jensen-Ungleichung erörtert; sie führen auf die bekannten Ungleichungen zwischen den Mittelwerten, die dem arithmetischen Mittel verwandt sind. Die Autorin beschreibt ein allgemeines Schema, das geeignet ist, aus den Ungleichungen Optimumaussagen zu gewinnen, und illustriert dies an prägnanten Beispielen.

Schlagwörter: Extremwert , Optimierung , Mathematikunterricht, Innermathematische Anwendung, Mittelwert


Autor: Schreiber, Alfred; Vargyas, Emese
Titel: Eine pythagoreische Ungleichung.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2009) 5, S. 42–44

Abstract: Der Beitrag – als integratives Unterrichtsthema für die Sekundarstufe I gedacht – zeigt schon mit seinem Titel Eine pythagoreische Ungleichung, dass es um den Satz des Pythagoras geht. Ausgangspunkt ist die Quadratfunktion und ihre Konvexität (geometrisch einsichtig gemacht). Die Autoren diskutieren den pythagoreischen Ausdruck a²+b² für die Seiten a, b, c eines beliebigen Dreiecks und deuten die resultierenden Ungleichungen geometrisch. Schüler sollten mit etwas Anleitung durch den Lehrer das Thema als kleines Forschungsproblem durchführen können.; The article contains an integrative teaching topic for the lower secondary school level. It starts from the quadratic function and its convexity (geometrically explained). The authors discuss the Pythagorean expression a²+b² for the sides a, b, c of an arbitrary triangle and interpret the resulting inequalties geometrically. Under the guidance of their teacher, students should be able to carry out this topic as a small research project.

Schlagwörter: Thales von Milet, Funktion , Rechtwinkliges Dreieck, Ungleichung, Kreis, Pythagoräischer Lehrsatz


Autor: Popa-Fischer, Anca
Titel: Von Ungleichungen, die nicht gelöst werden wollen.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2009) 5, S. 45–57

Abstract: Bei allgemeingültigen Ungleichungen gleiten die üblichen Äquivalenzumformungen nicht selten ab. Hier braucht man Arbeitsmuster und Beweisstrategien, die mehr oder weniger gut auf ein Problem oder eine Problemklasse zugeschnitten sind. Die Autorin präsentiert sechs solcher Strategien, darunter die überaus wirkungsvolle und viel zu wenig verbreitete Anordnungs-Ungleichung (rearrangement inequality). Die Strategien werden durch Anwendungen verdeutlicht; anspruchsvollere Überlegungen verlangen die dabei vorgestellten Ungleichungen mit geometrischem Bezug.; In generally valid inequalities, the customary equivalence transformations usually bounce off. Here you need working patterns and proof strategies that are more or less well-tailored to a problem or a class of problems. The author presents six of such strategies, among others the effective and too seldomly used rearrangement inequality. The strategies are illustrated by applications; some more demanding reflections require the presented inequalities with geometric reference.

Schlagwörter: Beweisen, Beweis, Strategie, Dreieck, Ungleichung, Mathematik


Autor: Schreiber, Alfred; Vargyas, Emese
Titel: Bemerkungen zur Dreiecksungleichung.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2009) 5, S. 59–63

Abstract: The first of the two remarks on the triangle inequality concerns the triangle inequality for plane triangles and its connection with the well-known inequality of the same name for the absolute value function. In the second remark the authors estimate (using the Jensen inequality) by how much some two sides of a triangle surpass the third one. The reflections can be used as a topic for the upper secondary school level.; Die erste der zwei Bemerkungen zur Dreiecksungleichung betrifft die Dreiecksungleichung für ebene Dreiecke und ihren Zusammenhang mit der bekannten gleichnamigen Ungleichung für die Betragsfunktion. In der zweiten Bemerkung wird (mit Hilfe der Jensen-Ungleichung) abgeschätzt, um wie viel zwei Seiten eines Dreiecks die dritte Seite übertreffen. Die Überlegung eignet sich als Thema für die Sekundarstufe II.

Schlagwörter: Schätzung, Dreieck, Ungleichung, Mathematikunterricht


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