Mittelwerte und weitere Mitten

Der Mathematikunterricht Nr. 5/2004

Bestellnummer: 524119
Medienart: Zeitschrift
Erscheinungsdatum: Oktober 2004
Schulfach / Lernbereich: Mathematik
Preis: 21,50 € *
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SCHWERPUNKT
Mittelwerte und weitere Mitten
Verantwortlich: Horst Hischer und Anselm Lambert

THEMENTEIL

Horst Hischer
Zur Einführung

Horst Hischer
Mittenbildung als fundamentale Idee

Monika Hischer-Buhrmester
Mittelwerte und Mitten in der Musik

Norbert Henze und Wolfgang Stummer
Mittelwerte und Mitten in der Stochastik

Anselm Lambert und Uwe Peters
Mittelwerte und Mitten in Geometrie und Physik

Horst Hischer
Mittelwertfolgen – oder: Mitten inmitten von Mitten

Anselm Lambert und Wilfried Herget
Mächtig viel Mittelmaß in Mittelwert-Familien

Horst Hischer und Anselm Lambert
Zur Axiomatisierung von Mittelwerten unter Berücksichtigung der historischen Begriffsentwicklungen

kleingedrucktes

Impressum

Autor: Hischer, Horst
Titel: Mittenbildung als fundamentale Idee.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2004) 5, S. 4–13

Abstract: Am Beispiel der Mittelwertbildung – bzw. verallgemeinert: der Mittenbildung – soll skizziert werden, was unter deskriptiven bzw. normativen Kriterien bei fundamentalen Ideen zu verstehen ist. Dazu zunaechst ein Beispiel: das Chuquet-Mittel. Wir koennen von zwei Bruechen in eindeutiger Weise das Chuquetmittel bilden, sofern wir diese als Repraesentanten auffassen, d.h. als durch Zaehler und Nenner gegeben denken. Wenn wir jedoch mit den Bruechen bestimmte rationale Zahlen meinen, die mit ihrer Hilfe bezeichnet werden (sollen), so ist das Chuquetmittel zu vage, weil es ja unendlich viele Brueche gibt, die dieselbe rationale Zahlen bezeichnen. – Doch gerade wegen dieser Vagheit ergibt sich die Moeglichkeit zur Erzeugung vielfaeltiger Mittelwertfunktionen! Das wird im letzten Abschnitt dieses Beitrags angedeutet.

Schlagwörter: Fundamentale Idee, Wissenschaftsgeschichte, Antinomie, Stochastik, Curriculum, Mathematik, Mittelwert, Rationale Zahl


Autor: Hischer-Buhrmester, Monika
Titel: Mittelwerte und Mitten in der Musik.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2004) 5, S. 14–17

Abstract: Gibt es in der Musik so etwas wie Mittelwerte oder Mitten? – Hier sollen einige Beispiele aus Musikgeschichte und Musiktheorie aufgezeigt werden, in denen diese Begriffe bzw. der verwandte Begriff des Zentraltons eine Rolle spielen.

Schlagwörter: Musik, Mathematikunterricht, Musikgeschichte, Mitte, Mathematik, Mittelwert


Autor: Henze, Norbert; Stummer, Wolfgang
Titel: Mittelwerte und Mitten in der Stochastik.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2004) 5, S. 18–29

Abstract: Die Autoren beleuchten einige Grundgedanken, Konzepte und Einsatzmoeglichkeiten zum Themenkreis Mittelwerte in der Stochastik, und zwar sowohl auf der Ebene der Datenanalyse (Mittelwert von Stichproben) als auch – falls moeglich – auf der wahrscheinlichkeitstheoretischen Ebene von Zufallsvariablen. Dabei wird zunaechst immer der fuer praktische Zwecke wichtige einfache Fall einer Zufallsvariablen mit endlichem Wertebereich behandelt. Ein zentrales Anliegen dieses Artikels ist es, Lehrerinnen und Lehrern einen Ueberblick ueber den o.a. Themenkreis zu geben und sie auch mit einigen Fallstricken vertraut zu machen, um auf diese Weise ein Fundament zu schaffen, das einen gerade fuer den Bereich der Stochastik unabdingbaren offenen Unterricht erst ermoeglicht.

Schlagwörter: Wahrscheinlichkeitstheorie, Beschreibende Statistik, Lehrerbildung, Verteilung, Stochastik, Mathematikunterricht, Mitte, Datenanalyse, Mittelwert


Autor: Lambert, Anselm; Peters, Uwe
Titel: Mittelwerte und Mitten in Geometrie und Physik – auch fuer Nicht-Physiker.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2004) 5, S. 30–41

Abstract: Nach einem kurzen Ausflug in Mitten im Alltag beginnen die Autoren mit der Suche nach der Mitte eines Polygons und dann die Suche nach Mitten in Geometrie und Physik. Der Schwerpunkt eines Dreiecks wird, im Einklang mit der Archetypizitaet einer fundamentalen Idee (vgl. S. 4–13 in diesem Heft, Hischer) intuitiv als die eigentliche der moeglichen Mitten eines Dreiecks empfunden. Dass es sich hierbei um den besonderen Punkt im Dreieck handelt, dem eine physikalische Bedeutung zukommt, laesst uns nach weiteren Beispielen fuer Mitten und Mittelwerte in der Schulphysik suchen. Auf diesem Weg begeben wir uns mehr und mehr von der physikalischen in die mathematische Welt und werden dort letztlich spielerisch verweilen. Ganz in diesem Sinne sind einige Argumentationen nicht bis in Detail ausgefuehrt. Dies und die unbeantwortet bleibenden (und die noch ungestellten) Fragen wollen als Einladung zum Mitspielen verstanden werden.

Schlagwörter: Beschreibende Statistik, Geometrie, Physikunterricht, Dreieck, Elektroingenieur, Vieleck, Schnelligkeit, Mathematikunterricht, Optik, Mitte, Mittelwert


Autor: Hischer, Horst
Titel: Mittelwertfolgen – oder: Mitten inmitten von Mitten.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2004) 5, S. 42–54

Abstract: Es gibt nicht nur eine grosse Vielzahl praktisch wichtiger bzw. nuetzlicher Mittelwerte und Mitten und darueber hinaus sogar beliebig viele spielerisch und theoretisch konstruierbare Mittelwerte bzw. Mittelwertfunktionen, sondern mit Hilfe von Mittelwerten bzw. Mitten koennen neue Mittelwerte bzw. Mitten auch algorithmisch konstruiert werden, was uns hier zu Mittelwertfolgen bzw. Mittenfolgen fuehrt. Inhalt: Farey-Folgen und Ford-Kreise, Babylonische Quadratwurzelapproximation, der Kreis als harmonisch-geometrisches Mittel, allgemeine Mittelwertsfolgen.

Schlagwörter: Geometrie, Folge , Grafikprogramm, Computerprogramm, Bruchzahl, Lernsoftware, Mathematikunterricht, Mitte, Mittelwert


Autor: Lambert, Anselm; Herget, Wilfried
Titel: Maechtig viel Mittelmass in Mittelwert-Familien.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2004) 5, S. 55–66

Abstract: Am Beispiel einiger Mittelwertfunktionen – auch mit Blick auf deren Ungleichungen – spielen wir vielfaeltige formale, visuelle und begriffliche Darstellung(smoeglichkeit)en von Funktionen und Funktionswerten durch. Dieses Wechselspiel der unterschiedlichen Zugaenge ermoeglicht es, Fragen vielgestaltig zu beantworten, und es hilft, weitere Aspekte der untersuchten Begriffe und ihrer Zusammenhaenge zu entdecken und sogar neue Fragen zu stellen. – Es gibt nicht nur viele Mittelwerte – sie haben auch viele Gesichter! Inhalt: Zweistellige Mittelwertfunktionen und ihre formalen Darstellungen und Visualisierungen, Darstellungen als 2-dimensionale Flaeche im 3-dimensionalen Raum, Familien zweistelliger Mittelwertfunktionen (ihre Gemeinsamkeiten).

Schlagwörter: Geometrie, Fachdidaktik, Ungleichung, Beweis, Mathematikunterricht, Veranschaulichung, Mitte, Mittelwert


Autor: Hischer, Horst; Lambert, Anselm
Titel: Zur Axiomatisierung von Mittelwerten unter Beruecksichtigung der historischen Begriffsentwicklungen.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2004) 5, S. 67–78

Abstract: Der Begriff eines Mittelwertes ist keineswegs so eindeutig axiomatisch festlegbar wie etwa der des Vektorraums. Die Axiomatisierung von Mittelwerten hat im 20. Jahrhundert und teilweise schon davor viele Mathematiker beschaeftigt, und sie ist auch heute noch immer nicht einvernehmlich abgeschlossen – dies macht die Auseinandersetzung mit dem Thema gerade fuer die Schule besonders spannend, weil den Lernenden dabei die Mathematik als offenes und gestaltbares Werk gegenuebertritt. Im hier vorliegenden Artikel moechten die Autoren am Beispiel der Mittelwertfunktionen Axiomatisierung skizzieren und dabei exemplarisch illustrieren, dass den Ausgangspunkt von Axiomatisierung stets zwei wechselseitig aufeinander bezogene Ideen bilden (die ueber ihre Prozesse zu ihren Produkten fuehren): – die Untersuchung konkreter vorliegender Objekte auf gemeinsame Eigenschaften – die Entdeckung solcher abstrakter Eigenschaften in weiteren Beispielen (Modellen).

Schlagwörter: Axiomatik, Axiom, Mathematikunterricht, Mittelwert


Archiv

Bisher erschienene Ausgaben:

5/2019 - Transparenz im Mathematikunterricht
4/2019 - Mathematik und Informatik
3/2019 - Unterschiedliche Sichtweisen auf die Mathematik
2/2019 - Der Übergang vom Mathematikunterricht in ein MINT-Studium
1/2019 - Beschreibende Statistik
6/2018 - Anregungen aus der Mathematikmethodik der DDR
5/2018 - Mathematik in Schule und Hochschule
4/2018 - DGS und Beweise(n)
3/2018 - Alternative Zugänge zur Analysis
2/2018 - Halbregelmäßige geometrische Objekte
1/2018 - Experimente im Mathematikunterricht
6/2017 - Visualisieren – Transformation und Transfer
5/2017 - Mathematikunterricht im Kontext physikalischer Anwendungen – Grundlegungen und Konzepte zu fächerbindendem Unterricht
4/2017 - Mathematikgeschichte im Unterricht – Historische Zugänge zu mathematischen Themen
3/2017 - Perspektiven auf die Schulmathematik
2/2017 - Ideen aus der Reformpädagogik
1/2017 - Wege in die Analysis
6/2016 - Der Schulversuch LEMAMOP
5/2016 - Geometrie in der Sekundarstufe I
4/2016 - Didaktik der Analytischen Geometrie
3/2016 - Fehler beim mathematischen Denken und Problemlösen
2/2016 - Mathematikgeschichte des 16./17. Jahrhunderts im Mathematikunterricht
1/2016 - Mathematik wirklich verstehen – Beispiele zur Stoffdidaktik
6/2015 - Philosophie der Mathematik
5/2015 - Realitätsbezug im Mathematikunterricht
4/2015 - Perspektivwechsel bei der Begriffsentwickung in der Analysis
3/2015 - Variationen
2/2015 - Begabungsförderung und Mathematik
1/2015 - Optimieren
6/2014 - Begriffslernen und -lehren
5/2014 - Heuristisches Arbeiten im Mathematikunterricht
4/2014 - Didaktisches Potential von GeoGebra
3/2014 - Schulversuch MABIKOM
2/2014 - Analysis in historischer und didaktischer Sicht
1/2014 - Computer-Algebra-Systeme
6/2013 - Lehrkunstdidaktik
5/2013 - Schülerlabore Mathematik
4/2013 - Mathematische Bildung als staatsbürgerliche ..
3/2013 - Raumanschauung
2/2013 - Analysis – Ratschläge und Vorschläge II
1/2013 - Modellieren
6/2012 - Grenzwertsätze bei Matrizen (vergriffen)
5/2012 - Analysis – Ratschläge und Vorschläge 1
4/2012 - Daten, die uns etwas angehen
3/2012 - Parameterdarstellungen [x(t), y(t)] in der Sek I (vergriffen)
2/2012 - Angewandte diskrete Mathematik mit Schülerinnen ..
1/2012 - Die Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt
6/2011 - Examensarbeiten aus Studienseminaren
5/2011 - Mathematik ist überall
4/2011 - Brücken im Mathematikunterricht
3/2011 - Bruch- und Dezimalbruchrechnung – neue Ideen aus Forschung und Praxis
2/2011 - Algebra
1/2011 - Mathematik und Musik
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5/2010 - Schülerprojekte
4/2010 - Modellieren
3/2010 - György Pólya (187 – 1985) – Teil II
2/2010 - György Polya (1887–1985) Teil I (vergriffen)
1/2010 - Mathematik darstellen – Sprache, Zeichen, Handlung (vergriffen)
6/2009 - Mathematik und Origami
5/2009 - Ungleichungen (vergriffen)
4/2009 - MU mit einem Computer-Algebra-System
3/2009 - Unterrichtskonzepte zur Analytischen Geometrie
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1/2009 - Polyeder im Mathematikunterricht
6/2008 - Medien – Methoden – Kompetenzen
5/2008 - Forscherwerkstatt PC -Labor (vergriffen)
4/2008 - Figurierte Zahlen
3/2008 - Historische Aufgaben im Mathematikunterricht (vergriffen)
2/2008 - Analysis in der Lehrerausbildung (vergriffen)
1/2008 - Stochastische Phänomene
6/2007 - Iteration (vergriffen)
5/2007 - Philosophie und Mathematik (vergriffen)
4/2007 - Gymnasiallehrerausbildung (vergriffen)
3/2007 - Stochastik – Allgemeinbildung – Daten (vergriffen)
1/2 2007 - Fächerübergreifender Mathematikunterricht (vergriffen)
6/2006 - Analogiebildung (vergriffen)
5/2006 - Zahlentheorie (vergriffen)
4/2006 - Experimente und Visualisierung (vergriffen)
3/2006 - Symmetrie (vergriffen)
2/2006 - Begabungsförderung II (vergriffen)
1/2006 - Algorithmen (vergriffen)
6/2005 - Raumkurven (vergriffen)
5/2005 - Begabungsförderung I (vergriffen)
4/2005 - Kurskonzepte (vergriffen)
2/3 2005 - Mathematikunterricht auf dem Prüfstand (vergriffen)
1/2005 - Zirkel (vergriffen)
6/04 2005 - Funktionales Denken (vergriffen)
5/2004 - Mittelwerte und weitere Mitten (vergriffen)
4/2004 - Dynamische Kurvenkonstruktionen (vergriffen)
3/2004 - Selbstgesteuertes Lernen (vergriffen)
1+2/2004 - Unterrichtsideen zur Raumgeometrie (vergriffen)
5/2003 - Variationen über ein mathematisches Thema (vergriffen)
4/2003 - Mathematikunterricht im Internet (vergriffen)
3/2003 - Individuelle Konzepte im Mathematikunterricht (vergriffen)
2/2003 - Unendliche Reihen (vergriffen)
1/2003 - Problemlösen (vergriffen)
6/2003 - Zum Wechselspiel zwischen Figuren und Zahlen (vergriffen)
6/2002 - Spiegelungen (vergriffen)
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3/2002 - Historische Längenmaße (vergriffen)
2/2002 - Statistische Testmethoden (vergriffen)
1/2002 - Genauigkeit (vergriffen)
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5/2001 - Raumgeometrie mit dem Computer (vergriffen)
4/2001 - Extremwertprobleme (vergriffen)
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3/2000 - Felix Klein und die Berliner Schulkonferenz (vergriffen)
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