Mittelwerte und weitere Mitten

Autor: Hischer, Horst
Titel: Mittenbildung als fundamentale Idee.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2004) 5, S. 4–13

Abstract: Am Beispiel der Mittelwertbildung – bzw. verallgemeinert: der Mittenbildung – soll skizziert werden, was unter deskriptiven bzw. normativen Kriterien bei fundamentalen Ideen zu verstehen ist. Dazu zunaechst ein Beispiel: das Chuquet-Mittel. Wir koennen von zwei Bruechen in eindeutiger Weise das Chuquetmittel bilden, sofern wir diese als Repraesentanten auffassen, d.h. als durch Zaehler und Nenner gegeben denken. Wenn wir jedoch mit den Bruechen bestimmte rationale Zahlen meinen, die mit ihrer Hilfe bezeichnet werden (sollen), so ist das Chuquetmittel zu vage, weil es ja unendlich viele Brueche gibt, die dieselbe rationale Zahlen bezeichnen. – Doch gerade wegen dieser Vagheit ergibt sich die Moeglichkeit zur Erzeugung vielfaeltiger Mittelwertfunktionen! Das wird im letzten Abschnitt dieses Beitrags angedeutet.

Schlagwörter: Fundamentale Idee, Wissenschaftsgeschichte, Antinomie, Stochastik, Curriculum, Mathematik, Mittelwert, Rationale Zahl

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Autor: Hischer-Buhrmester, Monika
Titel: Mittelwerte und Mitten in der Musik.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2004) 5, S. 14–17

Abstract: Gibt es in der Musik so etwas wie Mittelwerte oder Mitten? – Hier sollen einige Beispiele aus Musikgeschichte und Musiktheorie aufgezeigt werden, in denen diese Begriffe bzw. der verwandte Begriff des Zentraltons eine Rolle spielen.

Schlagwörter: Musik, Mathematikunterricht, Musikgeschichte, Mitte, Mathematik, Mittelwert

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Autor: Henze, Norbert; Stummer, Wolfgang
Titel: Mittelwerte und Mitten in der Stochastik.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2004) 5, S. 18–29

Abstract: Die Autoren beleuchten einige Grundgedanken, Konzepte und Einsatzmoeglichkeiten zum Themenkreis Mittelwerte in der Stochastik, und zwar sowohl auf der Ebene der Datenanalyse (Mittelwert von Stichproben) als auch – falls moeglich – auf der wahrscheinlichkeitstheoretischen Ebene von Zufallsvariablen. Dabei wird zunaechst immer der fuer praktische Zwecke wichtige einfache Fall einer Zufallsvariablen mit endlichem Wertebereich behandelt. Ein zentrales Anliegen dieses Artikels ist es, Lehrerinnen und Lehrern einen Ueberblick ueber den o.a. Themenkreis zu geben und sie auch mit einigen Fallstricken vertraut zu machen, um auf diese Weise ein Fundament zu schaffen, das einen gerade fuer den Bereich der Stochastik unabdingbaren offenen Unterricht erst ermoeglicht.

Schlagwörter: Wahrscheinlichkeitstheorie, Beschreibende Statistik, Lehrerbildung, Verteilung, Stochastik, Mathematikunterricht, Mitte, Datenanalyse, Mittelwert

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Autor: Lambert, Anselm; Peters, Uwe
Titel: Mittelwerte und Mitten in Geometrie und Physik – auch fuer Nicht-Physiker.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2004) 5, S. 30–41

Abstract: Nach einem kurzen Ausflug in Mitten im Alltag beginnen die Autoren mit der Suche nach der Mitte eines Polygons und dann die Suche nach Mitten in Geometrie und Physik. Der Schwerpunkt eines Dreiecks wird, im Einklang mit der Archetypizitaet einer fundamentalen Idee (vgl. S. 4–13 in diesem Heft, Hischer) intuitiv als die eigentliche der moeglichen Mitten eines Dreiecks empfunden. Dass es sich hierbei um den besonderen Punkt im Dreieck handelt, dem eine physikalische Bedeutung zukommt, laesst uns nach weiteren Beispielen fuer Mitten und Mittelwerte in der Schulphysik suchen. Auf diesem Weg begeben wir uns mehr und mehr von der physikalischen in die mathematische Welt und werden dort letztlich spielerisch verweilen. Ganz in diesem Sinne sind einige Argumentationen nicht bis in Detail ausgefuehrt. Dies und die unbeantwortet bleibenden (und die noch ungestellten) Fragen wollen als Einladung zum Mitspielen verstanden werden.

Schlagwörter: Beschreibende Statistik, Geometrie, Physikunterricht, Dreieck, Elektroingenieur, Vieleck, Schnelligkeit, Mathematikunterricht, Optik, Mitte, Mittelwert

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Autor: Hischer, Horst
Titel: Mittelwertfolgen – oder: Mitten inmitten von Mitten.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2004) 5, S. 42–54

Abstract: Es gibt nicht nur eine grosse Vielzahl praktisch wichtiger bzw. nuetzlicher Mittelwerte und Mitten und darueber hinaus sogar beliebig viele spielerisch und theoretisch konstruierbare Mittelwerte bzw. Mittelwertfunktionen, sondern mit Hilfe von Mittelwerten bzw. Mitten koennen neue Mittelwerte bzw. Mitten auch algorithmisch konstruiert werden, was uns hier zu Mittelwertfolgen bzw. Mittenfolgen fuehrt. Inhalt: Farey-Folgen und Ford-Kreise, Babylonische Quadratwurzelapproximation, der Kreis als harmonisch-geometrisches Mittel, allgemeine Mittelwertsfolgen.

Schlagwörter: Geometrie, Folge $$, Grafikprogramm, Computerprogramm, Bruchzahl, Lernsoftware, Mathematikunterricht, Mitte, Mittelwert

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Autor: Lambert, Anselm; Herget, Wilfried
Titel: Maechtig viel Mittelmass in Mittelwert-Familien.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2004) 5, S. 55–66

Abstract: Am Beispiel einiger Mittelwertfunktionen – auch mit Blick auf deren Ungleichungen – spielen wir vielfaeltige formale, visuelle und begriffliche Darstellung(smoeglichkeit)en von Funktionen und Funktionswerten durch. Dieses Wechselspiel der unterschiedlichen Zugaenge ermoeglicht es, Fragen vielgestaltig zu beantworten, und es hilft, weitere Aspekte der untersuchten Begriffe und ihrer Zusammenhaenge zu entdecken und sogar neue Fragen zu stellen. – Es gibt nicht nur viele Mittelwerte – sie haben auch viele Gesichter! Inhalt: Zweistellige Mittelwertfunktionen und ihre formalen Darstellungen und Visualisierungen, Darstellungen als 2-dimensionale Flaeche im 3-dimensionalen Raum, Familien zweistelliger Mittelwertfunktionen (ihre Gemeinsamkeiten).

Schlagwörter: Geometrie, Fachdidaktik, Ungleichung, Beweis, Mathematikunterricht, Veranschaulichung, Mitte, Mittelwert

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Autor: Hischer, Horst; Lambert, Anselm
Titel: Zur Axiomatisierung von Mittelwerten unter Beruecksichtigung der historischen Begriffsentwicklungen.
Quelle: In: Der Mathematikunterricht,(2004) 5, S. 67–78

Abstract: Der Begriff eines Mittelwertes ist keineswegs so eindeutig axiomatisch festlegbar wie etwa der des Vektorraums. Die Axiomatisierung von Mittelwerten hat im 20. Jahrhundert und teilweise schon davor viele Mathematiker beschaeftigt, und sie ist auch heute noch immer nicht einvernehmlich abgeschlossen – dies macht die Auseinandersetzung mit dem Thema gerade fuer die Schule besonders spannend, weil den Lernenden dabei die Mathematik als offenes und gestaltbares Werk gegenuebertritt. Im hier vorliegenden Artikel moechten die Autoren am Beispiel der Mittelwertfunktionen Axiomatisierung skizzieren und dabei exemplarisch illustrieren, dass den Ausgangspunkt von Axiomatisierung stets zwei wechselseitig aufeinander bezogene Ideen bilden (die ueber ihre Prozesse zu ihren Produkten fuehren): – die Untersuchung konkreter vorliegender Objekte auf gemeinsame Eigenschaften – die Entdeckung solcher abstrakter Eigenschaften in weiteren Beispielen (Modellen).

Schlagwörter: Axiomatik, Axiom, Mathematikunterricht, Mittelwert

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