Stephan-Eric Hauschild; Jens Spiegelhauer

„Unvernünftige“ Zahlen

Stephan-Eric Hauschild; Jens Spiegelhauer

Von Parkettierungen zu irrationalen Zahlen

Hans Magnus Enzensberger beschreibt in seinem Buch „Der Zahlenteufel irrationale Zahlen als „unvernünftige Zahlen, da sie sich nicht an gewisse „Spielregeln halten. Welche Spielregeln sind da gemeint und wie können diese „Spielregeln veranschaulicht werden?
In diesem Beitrag beschreiben wir einen phänomenologisch-ästhetischen Zugang zu irrationalen Zahlen, der auf Analogiebildungen zwischen periodischen und aperiodischen Mustern sowohl bei Dezimalzahldarstellungen als auch bei Parkettierungen basiert.
Im Zusammenhang mit der Behandlung des Potenzierens und Radizierens möchte ich meiner 9. Klasse einen Ausblick auf die Existenz reeller Zahlen geben.
Die Lernenden erarbeiten sie in Gruppen. Ich lege ihnen jeweils bildliche Darstellungen sowohl von Parkettierungen als auch von Dezimalzahlen mit sehr vielen Nachkommastellen vor (Abb. 1a – d, KV19 ) und achte darauf, dass insbesondere bei den Zahldarstellungen der Bildausschnitt so gewählt wird, dass eine ganzheitliche Wahrnehmung möglich wird.
Die einzelnen Gruppen erhalten nun die Aufgabe, Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen diesen Bildern herauszuarbeiten, um anschließend die Darstellungen zu ordnen und zu gruppieren. Zuerst ordnen sie, mehr oder weniger intuitiv, jedem Bild mit Parkettierung ein entsprechendes Bild mit einer Dezimalzahldarstellung zu. Die Zuordnungen begründen sie mit charakteristischen Eigenschaften dieser Muster. Die daraus resultierende Unterteilung der Zahlen in den Darstellungen in „regelmäßig und „unregelmäßig, markiert den Ausgangspunkt für die Erarbeitung des Begriffs der irrationalen Zahl.
Reaktivierung
Die Annäherung an den Begriff der irrationalen Zahl und damit an die „Unregelmäßigkeit erfolgt dadurch, dass erst noch einmal gewisse Aspekte von „Regelmäßigkeiten aus vergangenen Schuljahren wiederholt und anschließend zusammengefasst werden:
  • Jeder gemeine Bruch lässt sich in eine Dezimalzahl umwandeln, wobei stets eine endliche oder unendliche periodische Dezimalzahl entsteht.
  • Umgekehrt lässt sich auch für jede endliche oder unendliche periodische Dezimalzahl wieder eine Darstellung als gemeiner Bruch erzeugen.
Während die Schülerinnen und Schüler ohne größere Schwierigkeiten einen gemeinen Bruch in eine entsprechende Dezimalzahl umwandeln, bedarf die umgekehrte Richtung einer Hilfestellung. Exemplarisch führe ich ein Verfahren an einem (typischen) Beispiel vor:
Das Üben dieser Umwandlungen erfolgt mithilfe eines Arbeitsblattes (KV20 ). Die Schülerinnen und Schüler gelangen dabei zu folgender Erkenntnis: Alle gemeinen Brüche sind eindeutig als endliche oder unendlich periodische Dezimalzahlen darstellbar und umgekehrt lassen sich alle endlichen und unendlich periodischen in gemeine Brüche umwandeln.
Erarbeitung
Im weiteren Unterrichtsverlauf werden nun weitere Fragen verfolgt:
  • Was folgt mathematisch aus der „Unregelmäßigkeit in der Dezimalzahldarstellung?
  • Lassen sich derartige „Unregelmäßigkeiten sowohl für die Parkettierung als auch für die Darstellung der Dezimalzahlen konstruieren? Wenn ja, wie?
Die meisten Schülerinnen und Schüler gelangen bei der ersten Frage relativ schnell zu dem Schluss, dass diese „unregelmäßigen Zahlen keine rationalen Zahlen sein können, da sie weder endlich noch periodisch sind. Für diese „neuen Zahlen wird die Bezeichnung „irrational vorgegeben. Weiterhin werden die rationalen und die irrationalen Zahlen zu den reellen Zahlen zusammengefasst und der neue Zahlbereich mit ℝ bezeichnet.
Bei der zweiten Frage geht es um die Konstruktion dieser „Unregelmäßigkeiten. Vielen ist schnell klar geworden, dass eine Periodizität in den Mustern „geschickt ausgeschlossen werden muss. Nicht alle sehen dafür aber sofort eine Lösung. Nach einer Zeit des Probierens, stellt eine Gruppe ein typisches Beispiel zum Ausschluss einer Periodizität (z. B. 0,01001000100001)...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik 5-10 Nr. 47 / 2019

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Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 9-10