Karin Richter, Wilfried Herget

Sophies Primzahlen-Welt

Sophie Germain, Primzahlen, Arithmetik
Sophie Germain beschäftigte sich unter anderem mit Primzahlen, Grafik: Friedrich Verlag

Karin Richter, Wilfried Herget

als es (fast) noch keine Mathematikerinnen gab

Es ist das Jahr 212 v. Chr., zur Zeit des Zweiten Punischen Krieges. Der greise Archimedes ist am Strand von Syrakus und zeichnet mit einem Stock mathematische Figuren in den Sand so versunken, dass er das Kommen eines römischen Söldners zunächst nicht bemerkt, erst als ein Schatten auf seine Figuren fällt. Archimedes soll zu ihm gesagt haben: „Störe meine Kreise nicht! Die Legende endet tragisch, mit dem Tod des Archimedes, erschlagen durch den erbosten Soldaten.
Eine traurige Geschichte doch genau sie steht am Beginn einer besonderen Liebe zur Mathematik: Sophie-Marie Germain stöbert als Dreizehnjährige in der Bibliothek ihres Vaters und liest diese Legende in dem Buch Histoire des mathématiques von Jean Étienne Montucla. Sie ist fasziniert von der Möglichkeit, vollständig in die Mathematik zu versinken, die Welt um sich vergessend! Da keimt in ihr der Wunsch, Mathematik zum Zentrum auch ihres eigenen Lebens zu machen so berichtet sie, zur Mathematikerin geworden, später selbst.
Es ist ein erstaunlicher Start für ein der Wissenschaft gewidmetes Leben. Und Sophie Germains Leben bleibt bis zu ihrem Tod 1831 erstaunlich (vgl. Arbeitsblatt 1 ).
Der bemerkenswerte Lebenslauf dieser ebenso mutigen wie zielstrebigen und unbeirrbaren hochbegabten Mathematikerin ist für sich genommen schon faszinierend. Heute ist es für uns selbstverständlich, dass Mädchen alle Bildungsmöglichkeiten offenstehen und junge Frauen ihren Weg in die Wissenschaft und speziell auch in die Mathematik gehen können. Es war ein langer Weg, bis es dazu kam Sophie Germain hat diese erfolgreiche Entwicklung entscheidend mit angebahnt.
Die Welt der Primzahlen
Es ist, neben der Person, die mathematische Gedankenwelt der Sophie Germain, die selbst heute noch anregend und inspirierend wirken kann auch im „normalen Mathematikunterricht. Dazu gehören insbesondere die Primzahlen. Mit dem bekannten Sieb des Eratosthenes (Eratosthenes von Cyrene 276194 v. Chr.) lässt sich besonders gut die Idee verfolgen, wie man systematisch Schritt für Schritt Primzahlen finden kann. Und man darf auch darüber staunen, wie zu jeder Primzahl eine noch größere Primzahl gefunden werden kann es gibt eben unendlich viele Primzahlen.
Ungewöhnliche Primzahlpaare
Doch damit sind bei Weitem nicht alle Geheimnisse angegangen, die diese so besondere Zahlenmenge in sich birgt. Da gibt es tatsächlich beliebig lange Primzahllücken auf dem Zahlenstrahl, und dennoch wird plausibel v ermutet, dass jede gerade Zahl größer zwei eine Summe zweier Primzahlen ist (Goldbach-Vermutung).
Andererseits gibt es aber auch ganz eng benachbarte Primzahlen Primzahlzwillinge, Primzahldrillinge,
Und es gibt die Sophie-Germain-Primzahlen, von der berühmten Mathematikerin untersucht und ihr zu Ehren so benannt. Sophie Germain hatte wie wohl alle Großen der Mathematik dieser Zeit versucht, die schon damals berühmte fermatsche Vermutung zu beweisen (dies gelang erst 1994 durch Andrew Wiles):
an + bn = cn ist für positive ganze Zahlen a, b, c, n unlösbar, wenn n>2 ist.
Immerhin gelang ihr der Beweis im sogenannten ersten Fall, eben für „ihre Sophie-Germain-Primzahlen:
an + bn = cn ist für positive ganze Zahlen a, b, c, n unlösbar, wenn a, b, c nicht durch n teilbar sind und n>2 eine Sophie-Germain-Primzahl ist.
Leonhard Euler (1707 – 1783) und Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) konnten einen Zusammenhang mit den Mersenne-Zahlen beweisen (die bis heute von Bedeutung sind bei der Computersuche nach Primzahlrekorden, vgl. de.wikipedia.org/wiki/Mersenne-Zahl):
Ist p>3 eine Sophie-Germain-Primzahl mit der Eigenschaft, dass (p+1) durch 4 teilbar ist, dann ist 2p+1 ein Teiler der p-ten Mersenne-Zahl M(p).
Sophie-Germain-Zahlen im Unterricht
Wie können wir mit Schülerinnen und Schülern der 5. und 6. Klassen gemeinsam ein wenig auf den Spuren von...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 222 / 2020

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Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 5-6