Jan Franz Wörler, Stephan Günster

Schau mal an: Wie zufällig ist Pi? Grafische Antworten

Abb. 15: 10 000 Stellen von Pi, Ursprung im Fadenkreuz, Ende am roten Zeiger. Ein leichter Trend nach unten und rechts ist feststellbar.
Abb. 15: 10 000 Stellen von Pi, Ursprung im Fadenkreuz, Ende am roten Zeiger. Ein leichter Trend nach unten und rechts ist feststellbar.

Jan Franz Wörler, Stephan Günster

Der französische Künstler François Morellet hat in seinen Werken immer wieder die Zahl Pi thematisiert. So hängt Pi als rechteckiges Rastergitter in Morellets Haus (Cholet) und als Zickzacklinie aus gebogenen Neonröhren an der Akademie der schönen Künste in Bourges sowie dem Sitz der staatlichen Eisenbahngesellschaft Frankreichs (Tours). Morellet spielt in den Werken mit der Anzahl von Dezimalstellen sowie mit Winkeln (siehe unten), die er ihnen zuordnet und nennt diese Zusammenhänge häufig sogar im Werkstitel (Abb. 1 und Abb. 2 ). Was ihn an der irrationalen Zahl Pi fasziniert, ist die quasi-zufällige aber dennoch eindeutige Abfolge ihrer Nachkommastellen:
„Gewiss, irgendeine ‚zufällige Zahlenfolge hätte einen Verlauf-Typus erzeugt, der dem, den die Dezimalen von Pi hervorrufen, ziemlich ähnlich ist. Zum Beispiel die Zahlen eines Telefonbuches (die Orts-Vorwahlnummern ausgenommen) []. Andererseits mag ich es, wenn [] die ‚zufällige Zahlenfolge, die ich verwende, kontrollierbar ist (Morellet 2001, S. 17)
Morellet spricht damit eine Eigenschaft an, die Pi – wie jede andere irrationale Zahl auch – auszeichnet: Ihre Ziffern bilden eine unendlich lange, nichtperiodische Zahlenfolge, d.h. es lassen sich in der Folge keine Stellen finden, ab denen sich Stellen fortwährend wiederholen. Aber sind deswegen die Nachkommastellen von Pi wirklich „zufällig?
Einerseits muss man die Frage verneinen, denn heute existieren Berechnungsformeln und Algorithmen (vgl. Arndt/Haenel 1998), die es erlauben, Pi theoretisch beliebig genau zu berechnen – allein Rechenzeit und Speicherplatz setzen hier Grenzen. Morellet spricht deshalb auch von „Kontrollierbarkeit. Andererseits lassen sich die Eigenschaften von Pi mit denen einer echten Zufallsfolge vergleichen; lassen Sie uns das im Folgenden tun.
Von Girlanden und Rosetten
Wir können dazu zunächst die Darstellungsweise betrachten, in der Morellet Pi als Zickzacklinie aus gleich langen Segmenten umsetzt (s. auch Wörler 2012 in mathematik lehren 174): Die Größe des Winkels, der darin von je zwei Strecken eingeschlossen wird, ergibt sich als Produkt aus jeweils einer Dezimalstelle von Pi und einem konstanten Winkelfaktor (z.B. 10º in Abb. 1 oder 1,5º in Abb. 2 oder 90º in Abb. 3 ). So wird beispielsweise aus 3;1;4;1;5 mit dem Winkelfaktor 5º die Folge, die mit 3·5  =15º beginnt: 15º;5º;20º;5º;25º.
Vergleichen wir in dieser Art der Visualisierung die ersten 500 Dezimalstellen der Zahl Pi (Abb. 4 ) mit einer – auf analoge Weise – zufällig erzeugten Folge von Ziffern (Abb. 5 ), so lassen sich keine Besonderheiten feststellen: Wie auf den Boden gefallene Girlanden winden sich beide Zickzacklinien über der Bildfläche. Und auch die irrationalen Zahlen 2 sowie die Eulersche Zahl e (Abb. 6 und 7 ) schaffen in ähnlicher Weise Assoziationen an Luftaufnahmen von Flussläufen.
Stellen wir dieser kleinen Kollektion von visualisierten Zahlenfolgen jedoch rationale Zahlen gegenüber, wird sofort eine Besonderheit der vorgenannten Darstellungen deutlich: Während sich bei den rationalen Zahlen, wie etwa 1151 (Periodenlänge 75, Abb. 8 ) oder 1547(Periodenlänge 91, Abb. 9 ) regelmäßige Muster abschnittsweise wiederholen und sich zum Teil sogar rosettenartig symmetrische, geschlossene Linienverläufe bilden (161, Periodenlänge 60, Abb. 10 ; oder 1127, Periodenlänge 42, Abb. 11 ), gibt es derartige Regelmäßigkeiten in der Darstellung von Pi und der Zufallsfolge nicht. Und unter dieser Perspektive erscheint Pi tatsächlich eher...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 208 / 2018

Irrationale Zahlen

Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 8-10