Jonas Lotz

Rechenregeln schieben

Jonas Lotz

Ein Zahlenschieber aus Papier unterstützt Operationen mit ganzen Zahlen

In der Bruchrechnung erweist sich das Er- und Begründen von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division als Herausforderung. Bei den negativen Zahlen sind es jedoch bereits die Objekte selbst, die sich der intuitiven Anschauung entziehen. Rechnen mit negativen Zahlen verlangt von den Lernenden daher einen beachtlichen Abstraktionsschritt.
Vorstellungen von Objekten und Operationen
Ich möchte in der hier beschriebenen Unterrichtseinheit den Schülerinnen und Schülern den notwendigen Abstraktionsschritt anschaulich (be-)greifbar machen.
Zurückgreifen möchte ich dazu auf die Vorstellungen zu den natürlichen Zahlen und der dazugehörenden Addition und Subtraktion sowie auf mögliche Konkretisierungen dieser Operationen in Handlungen. Durch Kombination von Vorstellungen der Objekte und Vorstellungen der Operationen ergeben sich meiner Erfahrung nach fruchtbare Umsetzungsmöglichkeiten für den Unterricht.
Eine dieser Umsetzungsmöglichkeiten könnte das Hinzufügen und Wegnehmen von Schuld- und Gutscheinen sein. Die Schuld- und Gutscheine könnten dabei durch verschiedenfarbige Papierscheine dargestellt werden, die sich gegenseitig aufheben. Eine andere Möglichkeit könnte das Aneinanderlegen von ausgeschnittenen Pfeilen sein, wobei Pfeile nach rechts für positive und Pfeile nach links für negative Zahlen stehen. Auch Subtrahieren ist so möglich.
Die beschriebene Unterrichtseinheit basiert auf einer dritten Möglichkeit, auf der Bewegung entlang der Zahlengeraden. Die Vorstellung einer natürlichen Zahl als Punkt auf einem Zahlenstrahl wird schon in der Grundschule geweckt. Die Erweiterung zu den ganzen Zahlen erfolgt durch Erweiterung des Zahlenstrahls zur Zahlengeraden, analog zu einem Thermometer oder einer Fahrstuhlanzeige.
Neben dem Hinzufügen und Wegnehmen wird ebenfalls bereits in der Grundschule eine zweite Vorstellung der Operationen gefördert, die sich sehr gut mit der Vorstellung von Zahlen als Punkte auf einer Zahlengeraden kombinieren lässt: Addition und Subtraktion sind Umkehroperationen (Abb. 1 ).
Wenn man also zu einer Zahl eine zweite Zahl addiert, dann erhält man einen Wert als Ergebnis. Von diesem Ergebnis gelangt man zurück zur ersten Zahl, indem man die zuvor addierte zweite Zahl wieder subtrahiert.
Oder konkret: Weil die Addition von 5 die Operation ist, die aus der 7 die 12 macht, entspricht die Subtraktion von 5 der Umkehroperation von der 12 zur 7 (Abb. 2 ).
Die Kombination der Vorstellung einer Zahl als Punkt auf einer Zahlengeraden mit der Vorstellung der Subtraktion als Umkehrung der Addition trägt bis zur Subtraktion einer negativen Zahl und damit bis zu den Rechenregeln für ganze Zahlen: Durch den Zahlenschieber (Abb. 3 ) können diese Vorstellungen der Objekte und Operationen in Handlungen konkretisiert werden und bilden eine Grundlage für eigenständiges Denken.
Additionen nachvoll„ziehen
Um eine elementare Addition als Hinzufügen zu realisieren, benötigen wir drei Objekte: Den Ausgangswert (erster Summand), den dazu addierten Wert (zweiter Summand) und den resultierenden Wert der Summe. Dementsprechend besteht der Zahlenschieber aus greifbaren Darstellungen dreier übereinander angeordneter Zahlengeraden. Auf ihnen finden sich zeilenweise die drei genannten Bestandteile einer Addition wieder dabei ist die mittlere Zahlengerade (der Läufer) nach links und rechts beweglich.
Ich steige im Unterricht ein mit der Frage:
„Wie können wir mit dem Zahlenschieber rechnen? Die Lernenden sehen in ihm ein Hilfsmittel zur Addition: In einer festen Position erscheint es naheliegend, Verbindungen zweier Zahlen auf den äußeren Zeilen als Hinzufügen oder auch als Bewegungen zu interpretieren (Abb. 4 ).
Zum Addieren schieben wir die Null des Läufers auf die Ausgangszahl (oben), um dann auf Höhe der addierten Zahl das Ergebnis unten abzulesen. Das funktioniert erfreulicherweise ebenso für...

Friedrich+ Deutsch

Sie sind bereits Abonnent?

Mein Konto

Jetzt weiterlesen mit Friedrich+ Mathematik!

  • Digitaler Vollzugriff auf die Inhalte der Zeitschriften mathematik lehren und Mathematik 5–10
  • Intuitive Benutzeroberfläche mit thematischer Struktur und intelligenter Suche
  • Jährlich über 100 neue didaktische Beiträge, Unterrichtseinheiten, Arbeitsblätter, Bastelvorlagen, Bildmaterial, Methodenkarten, Aufgaben, Tests und vieles mehr

Zur Bestellung

Fakten zum Artikel
aus: Mathematik 5-10 Nr. 44 / 2018

Papierkram – Verstehen mit und durch Papier

Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 7-8