Andrea Hoffkamp, Josef Kaliski

Prozente im Wechselspiel von Vernetzung und Vereinfachung

Andrea Hoffkamp, Josef Kaliski

Prozentrechnung spielt in Alltag und Beruf eine gewichtige Rolle. Doch gibt es gerade in diesem Gebiet große Klagen über mangelndes Wissen und Können (Sill 2010). Der hier vorgestellte Zugang zur Prozentrechnung wurde an einer Berliner Gemeinschaftsschule entwickelt und umgesetzt. Die Schule hat neben einem hohen Anteil förderbedürftiger Schülerinnen und Schüler auch solche mit der Aussicht auf einen gymnasialen Abschluss. Wie sieht eine sinnvolle didaktische Reduktion der Prozentrechnung aus, die allen Schülerinnen und Schülern in derart heterogenen Lerngruppen gerecht wird?
Wie ist der Lernstand?
Wer kennt ihn nicht den Spagat zwischen curricularen Vorgaben und dem tatsächlichen Lernstand? Nach einer Eingangsdiagnose unserer Lerngruppen des 7. Jahrgangs wussten wir: Jedes dritte Kind kann Brüche höchstens symbolisch notieren, aber ist sich nicht bewusst, dass beispielsweise 1/3 eines Kuchens durch die Aufteilung des Kuchens in drei gleich große Teile entsteht. Entsprechend können diese Kinder weder Stammbrüche ordnen noch Nenner und Zähler koordinieren. Zur Diagnose nutzten wir zunächst das diagnostische Interview KIWIS (Ministry of Education New Zealand 2016).1 Abb. 1 zeigt vier Aufgaben aus dieser Diagnose zum Bereich Anteile/Brüche, die man auch im Unterricht einsetzen kann.
Viele Schulbücher schlagen vor, zu Beginn der siebten Klasse die Bruchrechnung komplett zu wiederholen, u.a. im Hinblick auf die Prozentrechnung. Dies kostet aber viel Unterrichtszeit die anschließend gerade bei der Prozentrechnung fehlt: Man läuft dann leicht Gefahr, das algorithmische Abarbeiten von Standardaufgaben ins Zentrum des Unterrichts zu stellen, um (vermeintlich) schnelle Lernerfolge zu erzielen.
Gedanken zur Konzeption
In der Entwicklung des fachlichen Aufbaus haben wir uns an folgenden Prinzipien orientiert:
  • Vernetzung entlang mathematischer Leitlinien (Idee des Anteils, Idee der Proportionalität, Idee des Messens u.a.). Dies sorgt für ein beziehungshaltiges Lernen.
  • Konzentration durch eine günstige (eingeschränkte und zugleich erweiterbare) Auswahl von Aspekten und Darstellungen. Dies macht die Inhalte durch Vereinfachung zugänglich.
  • zunehmende Komprimierung durch die Formulierung von Mindestanforderungen zusammen mit automatisierendem Üben. So stehen wesentliche Fertigkeiten und Vorstellungen für komplexere Problemlösungen einfacher zur Verfügung.
Zudem verzichten wir aus zwei Gründen komplett auf die Benutzung des Taschenrechners in der 7. Klasse: Einerseits gibt es, wie die Eingangsdiagnose zeigt, viele schwache Rechner, die flexible Rechenstrategien erst noch ausbilden und verinnerlichen müssen. Andererseits verlockt der Gebrauch des Taschenrechners zum rein kalkülhaften Arbeiten.
Verstehen und Üben verzahnen
Natürlich sind eine didaktische Reduktion des Stoffes und exemplarisches Arbeiten nötig verbunden mit der Ausrichtung auf das kalkülhafte Abarbeiten können sich allerdings leicht Fehlvorstellungen zu Prozenten entwickeln. Dabei bringt die Verwendung der klassischen Prozentformel als primäre Lösungsstrategie die geringsten Erfolgsquoten mit sich (vgl. Hafner 2012, Auswertung der umfangreichen Längsschnittuntersuchung PALMA).
Eine Schwierigkeit beim Lösen von typischen Aufgaben in der Prozentrechnung ist die Vielzahl der Lösungsstrategien: Es gibt
  • den Dreisatz und dessen flexiblere Formen,
  • Verhältnisgleichungen,
  • Arbeiten mit der Formel und deren Umstellungen,
  • die Operatormethode.
Jede dieser Lösungsstrategien beinhaltet dann auch verschiedene Vorstellungen zum Prozentbegriff (Hafner 2012). Dies spiegelt sich im Alltag und darauf kommt es letztlich an in verschiedenen Deutungen wider:
5% eines Grundwertes lassen sich deuten als
  • 1/20 des Grundwerts,
  • jeder 20ste,
  • 5 von 100 (bzw. einer von 20),
  • das 0,05-Fache des Grundwerts.
Will man gerade auch Lernschwache auf eine alltagstaugliche Beherrschung der...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 200 / 2017

Mathematik auf den Punkt bringen: Reduktion

Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 7-7