Russische Bauernmultiplikation

Multiplizieren mal ganz einfach

Wer Halbieren, Verdoppeln und Addieren kann, der kann auch zwei Zahlen multiplizieren! Wie das geht, das wussten schon die alten Ägypter. Heutzutage ist das Verfahren als „Russische Bauernmultiplikation“ bekannt, da es dort noch länger als bei uns gebräuchlich war. Warum funktioniert dieses Verfahren? Wie es geht und welche Rolle das Binärsystem dabei spielt, lässt sich gut im Unterricht erkunden – nicht nur in der Unterstufe.

Russische Matroschka-Puppen
Russische Matroschka-Puppen Foto: 2857989 / Pixabay CC0 Creative Commons

Die russische Bauernmultiplikation ist ein interessantes Thema für eine Einzelstunde. Das Binärsystem sollte bekannt sein (und kann, falls es schon länger zurückliegt, hiermit gut wiederholt werden). Die  Schülerinnen  und  Schüler  lernen  zunächst ein verblüffend einfaches Verfahren zur Multiplikation zweier natürlicher Zahlen kennen. Die Erklärung greift auf das Binärsystem zurück und kann einen Einblick in die Computer-Arithmetik geben. Gibt man den Schülern eine schriftliche Form des Algorithmus, ist zunächst ein sinnentnehmendes Lesen gefordert. Mit der Anleitung können erste Multiplikationen ausgeführt und die Ergebnisse ggf. mit einem Taschenrechner (der liegt am Lehrerpult) überprüft werden.

Beispiel zur Russischen Multiplikation

So geht´s:

  • Erstelle eine Tabelle mit zwei Spalten. Die linke bekommt die Überschrift „Halbieren“ (oder : 2), die rechte „Verdoppeln“ (oder ∙ 2).
  • Schreibe die beiden Faktoren nebeneinander in die erste Zeile.
  • Halbiere die Zahl in der linken Spalte und schreibe das ganzzahlige Ergebnis (bei ungeraden Zahlen wird abgerundet) darunter. Wiederhole das Vorgehen, bis du bei 1 landest.
  • Verdopple die Zahl in der rechten Spalte und schreibe das Ergebnis darunter. Wiederhole das Vorgehen, bis neben der 1 in der linke Spalte eine Zahl steht (dann ist Tabelle gefüllt).
  • Wenn in der linken Spalte eine gerade Zahl steht, dann streiche die nebenstehende Zahl in der rechten Spalte.
  • Addiere die übriggebliebenen Zahlen in der rechten Spalte. Jetzt hast du dein Produkt ermittelt!

Mit dem Binärsystem das Geheimnis lüften

Hinter dem Verfahren „Halbieren und Aussortieren der geraden Zahlen“ steht die Umwandlung des ersten Faktors in seine Darstellung im Binärsystem (auch Dualsystem oder Zweiersystem genannt).

75 = 64 + 8 + 2+1
= 1∙26 + 0∙25 + 0∙24 + 1∙23 + 0∙22 + 1∙21 + 1∙20
= 10010112

Die Multiplikation 75 ∙ 434 lässt sich also schreiben als:

75 ∙ 434 = (64 + 8 + 2+1) ∙ 434 = 64 ∙ 434 + 8 ∙ 434 + 2 ∙ 434 + 434

Deshalb werden also in der rechten Spalte gewisse „verdoppelte“ Zahlen addiert: 2 ∙ 434 ist das Doppelte von 434, 8 ∙ 434 ist das Doppelte von 4 ∙ 434, was wiederum das Doppelte von 2 ∙ 434 ist usw. Das Streichen einer Zeile entspricht genau einer 0 der binären Zahl (in der Berechnungstabelle von unten nach oben gelesen). Durch das Verdoppeln wird das Produkt der zweiten Zahl mit allen in der Binärdarstellung benötigten Zweierpotenzen berechnet.

Zeitschrift
Mathematik 5–10 Nr. 47/2019 Zahl um Zahl

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Fragen zum Weiterdenken

  • Wie würde eine analoge Multiplikation zweier Zahlen aussehen, bei der statt der 2 die Zahl 3 als Basis verwendet wird?
  • Wie würde eine analoge Multiplikation zweier Zahlen aussehen, bei der nun die Zahl 10 als Basis verwendet wird? Vergleiche mit dem dir bekannten Verfahren der schriftlichen Multiplikation.

Literatur und Internet-Tipp

Wer es direkt ausprobieren will, dem sei der „Bauern-Multiplikations-Rechner“ von Arndt Brünner empfohlen. Hier findet sich auch eine ausführliche Erklärung zur Streichungsregel.

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