Hans-Dieter Sill

Inhaltliche Vorstellungen zum arithmetischen Mittel

Hans-Dieter Sill

Das arithmetische Mittel ist mit Abstand die am häufigsten im Alltag verwendete statistische Kenngröße. Die sichere Kenntnis seiner formalen und inhaltlichen Aspekte sowie Wissen über seinen sinnvollen Einsatz sind deshalb ein wesentliches Ziel statistischer Grundbildung. Allerdings stellt dieses Ziel eine Herausforderung dar, weisen doch Befragungen in 9. Klassen auf erhebliche Mängel im inhaltlichen Verständnis des arithmetischen Mittels hin (Götz/Süss-Stepancik 2012). Bei der Einführung des Begriffs steht häufig, wie ein Blick in Schulbücher zeigt, der Algorithmus zur Berechnung im Mittelpunkt. Inhaltliche Vorstellungen und Deutungen dieser statistischen Kennzahl sind entsprechend unterrepräsentiert, ebenso wie die Frage, wa-rum überhaupt das arithmetische Mittel berechnet werden soll.
Dem entgegen steht das hier vorgestellte Konzept der langfristigen Entwicklung des Wissens und Könnens zum arithmetischen Mittel in aufeinander aufbauenden Phasen (in Anlehnung an Krüger u.a. 2015, S. 20f.). Insbesondere können schon in einer ersten Phase der Begriffsentwicklung in den Jahrgangsstufen 4 und 5 (vor Behandlung der Bruchrechnung) tragende inhaltliche Vorstellungen des arithmetischen Mittels aufgebaut werden (s. Kasten 1), auf die bereits Heinrich Winter (1985) und Bernd Neubert (2012) hingewiesen haben.1
Das arithmetische Mittel
Das arithmetische Mittel
Inhaltliche Aspekte: Was ist das?
Das arithmetische Mittel
  • ist ein Wert, der sich ergibt, wenn alle Unterschiede zwischen den einzelnen Werten additiv ausgeglichen werden (Ausgleichsaspekt),
  • ist der Gleichgewichtspunkt einer Häufigkeitsverteilung (Schwerpunktaspekt),
  • ist ein Wert, der sich ergibt, wenn eine Gesamtheit gleichmäßig auf eine bestimmte Anzahl von Objekten oder Personen verteilt wird (Gleichverteilungsaspekt),
  • ist ein Verhältnis, das angibt, welcher Wert einer Größe auf ein Objekt oder eine Person entfällt, was meist mit dem Wort „pro ausgedrückt wird (Verhältnisaspekt).
Verwendungsaspekte: Wozu ist es gut?
Das arithmetische Mittel wird verwendet,
  • um Bewertungen vorzunehmen oder Entscheidungen treffen zu können,
  • um zwei Datensätze bezüglich des gleichen Merkmals vergleichen zu können, insbesondere wenn die Anzahl der Daten jeweils unterschiedlich ist (Vergleichswert),
  • um unter vergleichbaren Bedingungen begründete Voraussagen für das zu erwartende Ergebnis zu machen (Prognosewert).
Neben den unterschiedlichen inhaltlichen Vorstellungen und Deutungen des arithmetischen Mittels sollte wie bei allen statistischen Kenngrößen in Anwendungskontexten stets beachtet werden, worin der Zweck der Ermittlung besteht. (Auch dies bleibt bei Aufgaben zum arithmetischen Mittel oft unklar.) Es können für das arithmetische Mittel mehrere sinnvolle Verwendungen unterschieden werden (s. Kasten 1, vgl. Krüger u.a. 2015, S. 56f.) Hier geht es vor allem um das Verdeutlichen der grundlegenden inhaltlichen Vorstellungen; auf die Verwendungsaspekte wird nur hingewiesen.
Probleme der Bezeichnungen
Umgangssprache aufnehmen
In der Umgangssprache wird das arithmetische Mittel oft als Durchschnitt bezeichnet. Um an diesen Alltagsgebrauch anzuknüpfen, sollte im Mathematikunterricht bis zur Jahrgangsstufe 7/8 vorrangig vom „Durchschnitt“ 2, von „durchschnittlich oder „im Schnitt gesprochen werden. Diese Sprechweisen beziehen sich direkt auf den Ausgleichsaspekt des arithmetischen Mittels.
Erst in den weiteren Phasen der Begriffsentwicklung sollte der korrekte Fachbegriff „arithmetisches Mittel im Unterricht genutzt werden, auch um eine mögliche Abgrenzung vom geometrischen oder harmonischen Mittel vornehmen zu können. Bei der Verwendung der Bezeichnungen „Durchschnitt und „durchschnittlich ist allerdings zu beachten, dass damit im Alltag außerdem die Bedeutung Mittelmaß und mittelmäßig verbunden wird (ein durchschnittlicher Sportler ).
In vielen Schulbüchern, in fast allen Internetbeiträgen zum Begriff...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 197 / 2016

Statistische Grundbildung

Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 4-5