Stephan Hußmann, Maike Schindler

Ein Kontext für negative Zahlen – auch für die Multiplikation

Stephan Hußmann, Maike Schindler

Wozu benötigt man eigentlich negative Zahlen? Im Alltag reicht es z.B. aus, von 500€ Schulden zu sprechen. Auch im Aufzug redet man nicht vom „3. Stockwerk, und Meerestiefen werden zumeist nicht als 10000m, sondern als 10000m tief bezeichnet.
Doch es gibt auch lebensweltliche Situationen, in denen negative Zahlen auftreten, etwa bei Temperaturangaben oder bei Zeitmessungen im Sport (bei Skirennen wird die Abweichung zur schnellsten gefahrenen Zeit mit positiven/negativen Werten angegeben). In diesen Beispielen wird ein Kerngedanke deutlich: Negative Zahlen ermöglichen das Messen bezüglich einer fest gewählten Vergleichsmarke (z.B. 0 °C oder einer bestehenden Bestzeit). Dazu werden Temperaturangaben, Zeitmessungen usw. jeweils einem gemeinsamen Größenbereich untergeordnet. Insofern bieten negative Zahlen als Erweiterung der natürlichen Zahlen einen für Alltagskontexte nützlichen Zahlbereich.
Negative Zahlen im Unterricht mit Kontext oder ohne?
Negative Zahlen sind aus dem Bemühen entstanden, Gleichungen zu lösen (vgl. Janvier 1985). Dabei stand im Vordergrund, für die „neuen Zahlen ein in sich widerspruchsfreies System zu schaffen. Natürlich lässt sich auch im schulischem Rahmen die Existenz negativer Zahlen innermathematisch begründen. Im schulischen Lernen kann jedoch deren Rolle in lebensweltlichen Kontexten beim Aufbau eines inhaltlichen Verstehens, das der Versuchung widersteht, die Bedeutung von „Minus mal Minus auf eine Regel zu reduzieren, hilfreich sein.
Für eine formale Einführung negativer Zahlen spricht die fachlichen Perspektive: Man umgeht eine unnötige Verschleierung der mathematischen Konventionen, denn bei den Rechenregeln für ganze Zahlen handelt es sich um „ein System in sich stimmiger Operationsregeln (Steinbring 1994, S. 278), welches aus Permanenzgründen definiert werden kann (Rechenregeln bleiben auch für neue Zahlen gültig).
Gegen eine formale Einführung spricht, dass sie Inkonsistenzen hinsichtlich aufgebauter Vorstellungen zu den natürlichen Zahlen nicht bearbeitet und den Bezug von negativen Zahlen zur Alltagswelt im Dunklen lässt. Diese Unstimmigkeiten treten für die schon genannten Kontexte besonders deutlich auf, wenn das Minuszeichen zweifach hintereinander auftritt: als Rechenzeichen und als Zahlzeichen.
Rechenaufgaben der Form 4+(7) lassen sich in verschiedenen Kontexten noch sinnvoll deuten, z.B.:
  • Eine Temperatur von 4° verändert sich um 7°, wie ist die Temperatur nach der Veränderung?
  • Ein Kontostand von 4€ verändert sich um 7€, wie ist der Kontostand nach der Veränderung?
Dabei wird die Veränderung stillschweigend und passend zu unserer Alltagssprache in dem Sinne interpretiert, dass etwas dazukommt. Ein Explizit-Machen dieser Erhöhung würde schon erste Skepsis hervorrufen:
  • Ein Kontostand von 4€ wird um 7€ erhöht, wie ist der Kontostand nach der Erhöhung?
Wie kann ein Kontostand um einen negativen Betrag „erhöht werden? Das Problem der (sprachlichen) Deutung spitzt sich zu, wenn 4 (7) gedeutet werden soll. Nun muss ein Kontostand um 7€ verringert werden. Im alltäglichen Sprachgebrauch ist dies nichts anderes, als 7 von 4 abzuziehen, folglich können die beiden auftretenden Minuszeichen vor der 7 als ein Minuszeichen im Sinne einer Operation interpretiert werden. Dies wird zusätzlich durch die Erfahrung mit natürlichen Zahlen gestützt, dass „Minus immer verringert. Wie kann es da sein, dass „Minus Minus eine positive Veränderung nach sich zieht?
Auch bei der Multiplikation zweier negativer Zahlen stellt eine Permanenzreihe neben der formalen Erklärung als Merkhilfe die Konsistenz des Systems der ganzen Zahlen heraus:
2 · (3) = 6
1 · (3) = 3
0 · (3) = 0
1 · (3) = ?
Jedoch löst diese rein formale Einbettung allein die individuell wahrgenommene Widersprüchlichkeit der Annahme „Minus mal Minus ist Plus nicht auf. Nur dadurch, dass sich eine...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 183 / 2014

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