Andreas Pallack

Die Multiplikation ganzer Zahlen – mit oder ohne Kontext?

Andreas Pallack

Im Unterricht zu ganzen Zahlen können verschiedene Modelle genutzt werden, um die Rechenregeln, die nicht beweisbar sind (Malle 2007), plausibel zu machen. Besonders populäre Modelle sind Guthaben/Schulden, Temperatur, Fahrstuhl oder Pfeilmodelle. In jedes Modell müssen sich die Schülerinnen und Schüler hineindenken, um innerhalb des Modells auch argumentieren zu können. Das ist nicht immer einfach, häufig gibt es Dialoge wie: „Wenn jemand 20 € Schulden hat, also 20€, dann bedeutet (20€), dass Schulden zurückgezahlt werden. Was heißt dann (4)(20€)? „Wenn ich Schulden habe und 4-mal 20€ zahle, dann habe ich 80€ weniger Schulden, also 80€. Hier werden die Erklärungsmodelle überstrapaziert und ihre Reichweiten überschritten. Im Folgenden stelle ich zwei Zugänge zu negativen Zahlen vor und lote deren Grenzen hinsichtlich der Multiplikation ganzer Zahlen aus. Der Vorteil einer innermathematischen Zugangsweise wird dabei deutlich wie auch der mögliche Spielraum beim Einsatz der Modelle.
1. Zugang: Bewegungen an der Zahlengeraden mit Scratch
Die Addition ganzer Zahlen wird oft durch Bewegungen entlang der Zahlengerade erklärt. Anstelle der Zahlengerade kann man die Bewegung mit der Umgebung Scratch (Kasten 1 ) visualisieren, bei der eine Figur (Katze) über den Bildschrim geschickt werden kann.
Kasten 1: Scratch graphisches Programmieren
Kasten 1: Scratch graphisches Programmieren
Scratch ist eine Programmiersprache für Kinder. Programme werden über graphische Elementen, in die Zahlenwerte eingetragen werden können, zusammengestellt. Das Programmieren erfolgt sehr intuitiv, man muss keinen Quellcode schreiben, wie man es von anderen Programmiersprachen kennt. Gesteuert wird eine Figur (in der Grundeinstellung eine Katze), die über den Bildschirm läuft.
Es gibt unter anderem die Befehle:
gehe ___ Schritte,
  • Erstelle einen Pfeil der Länge ___ in Blickrichtung der Figur.
zeige Richtung ___ [90 = rechts, 90 = links]
  • Ändere die Orientierung des Pfeils.
Downloadmöglichkeit für Windows, Mac OS X und Debian/Ubuntu unter: https://scratch.mit.edu/download (kostenfrei) Weitere Informationen: https://scratch-dach.info/wiki/Hauptseite
Addition und Subtraktion
Die Rechnung (+50)+(70) entspricht in Scratch dem Ausführen der Befehle:
  • gehe 50-er Schritt
  • gehe 70-er Schritt
Das Starten des Programms setzt die Figur um 50 Schritte vorwärts und dann 70 Schritte rückwärts.
Die Rechnung (+50) – (+70) kann in Scratch so umgesetzt werden:
  • gehe 50-er Schritt
  • blicke nach links
  • gehe 70-er Schritt
Das Starten des Programms setzt die Figur 50 Schritte vor. Dann ändert die Katze ihre Richtung und geht 70 Schritte in die Gegenrichtung. Das Programm bedeutet im Pfeilmodell also:
  • Erstelle einen Pfeil der Länge 50 in die aktuelle Orientierung (positiv),
  • ändere die Orientierung (entspricht der Subtraktion),
  • lege einen Pfeil der Länge 70 in die aktuelle Orientierung (negativ) an.
Das gleiche Ergebnis erzielt man auch durch das Script in Bild 2/Kasten 1. Das Programm: „gehe 50-er Schritt; gehe 70-er Schritt entspricht direkt der Rechnung (+50) + (70): Die Figur geht +50 vorwärts und dann 70 Schritte vorwärts, was 70 Schritten rückwärts entspricht: 50+(70) = 50 70 = 50 (+70).
Falls Lernende mit der Blickrichtung der Katze Schwierigkeiten haben, kann auch ein Punkt eingefügt werden, der die Position auf der Zahlengeraden verdeutlicht (Abb. 1 , Online-Material ).
Übertragung auf die Multiplikation: Schleife als mehrfaches Addieren
Nun liegt es nahe, dieses Modell zu nutzen, um auch die Multiplikation zu erklären. In Scratch können dafür Schleifen verwendet werden. Schleifen wiederholen Befehlsfolgen. Die Anzahl der Wiederholungen kann man vorgeben (Kasten 1, Bild 3). Das Ergebnis der Rechnung 3(20) ist die Mehrfachausführung der Addition, also (20)+(20)+(20).
Die Grenze: Was gibt nun (3)(20)?
Ähnlich wie...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 183 / 2014

Zugänge zu negativen Zahlen

Friedrich+ Kennzeichnung Methode & Didaktik Schuljahr 5-7