Stefanie Reiter

Die Irrationalität eines Halbtonschritts

Stefanie Reiter

Schülerinnen und Schüler lernen die Existenz irrationaler Zahlen zumeist über geometrische Probleme kennen (Diagonalen- oder Seitenlängen von Flächen und Körpern, Verhältnis des Goldenen Schnitts usw.). Hier stelle ich einen anderen, fächerübergreifenden Zugang vor: In dieser Unterrichtseinheit zur Mathematik und Musik beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit der Herleitung von 212, als Größe eines Halbtonschritts.
Töne und Tonleitern
Wenn man eine Saite halb so lang macht, erklingt ein Ton, der eine doppelt so große Frequenz hat und eine Oktave höher liegt (Abb.1 ). Ein Oktav-Sprung hat also das Frequenzverhältnis 2:1=2 (und das Seitenverhältnis 1:2). Wenn man die Seite auf ein Viertel verkürzt, erklingt ein Ton, der die vierfache Frequenz hat und der zwei Oktaven höher liegt usw. Von einem Intervall zum nächstgrößeren kommt man also durch Multiplikation der Frequenzverhältnisse.
Unsere heute übliche Tonleiter besteht aus Ganz- und Halbtonschritten (Sekunden genannt), wobei zwei Halbtonschritte einen Ganztonschritt ergeben (gleichstufige Stimmung). Eine Oktave umfasst dabei 12 Halbtöne (Sekunden genannt). Hat ein Habtonschritt das Frequenzverhältnis x, dann hat ein Ganztonschritt das Verhältnis x·x = x2 und eine Oktave das Frequenzverhältnis x12 = 2.
Daraus ergibt sich für den Wert einer Sekunde:
x=212=1,05946309435929
x ist also eine irrationale Zahl.
Der Beweis verläuft entsprechend den Beweisen von 2oder 23: Wäre x eine rationale Zahl x = pqmit p, q ∈ ℕ; p, q teilerfremd. Dann wäre x12=2, also p12=2q12. Es muss dann gezeigt werden, dass mit p12 auch p eine gerade Zahl ist und dies entsprechend auch für q gilt. Damit erhält man einen Widerspruch.
Ein solches irrationales Frequenzverhältnis war für die Pythagoreer, die sich neben der Mathematik auch mit der Harmonielehre beschäftigten, undenkbar.
Historischer Hintergrund
In der Antike bildete die Musiktheorie zusammen mit den mathematischen Disziplinen Arithmetik, Geometrie und Astronomie eine Einheit (Quadrivium). Bis ins Mittelalter bestimmten die pythagoreischen Lehren die Tonleiterbildung. Die Pythagoreer vertraten die Ansicht, dass bei der Festlegung der Intervalle eine Kombination aus Verhältnissen mit kleinen Zahlen und zugleich ein wohliger Klang anzustreben ist (göttliche Harmonie). So galten bei ihnen folgende Intervalle mit ihren jeweiligen Proportionen als symphon: Oktave 1:2, Quinte 3:2, Quart 4:3. Diese Zahlenverhältnisse werden aus heutiger Sicht mithilfe eines Monochords über Saitenteilungen hergeleitet (Abb.1 ) und mathematisch über Multiplikation erzeugt (Abb.2 und Abb.3 ). Terzen und Sexten spielten damals keine Rolle (Waerden 1943, Wille 1985).
Ab der Renaissance wurden die Verhältnisse der pythagoreischen Stimmung abgewandelt: Neben reinen Quarten, Quinten und Oktaven wurden aufgrund veränderter Kompositionen nun auch die wohlklingenden Terzen und Sexten integriert (Abb.4 ).
Durch die geänderten Zahlenverhältnisse ergeben sich in der mitteltönigen Tonleiter unterschiedlich große Ganztöne. Folglich ergeben sich klangliche Abweichungen bei festgestimmten Instrumenten wie Orgel oder Cembalo, sobald ein anderer Grundton als C gewählt wird (Abb.5 ). Um dennoch Modulationen oder Transpositionen zu ermöglichen und dabei einen einheitlichen Klang beizubehalten, wurden etwa zusätzliche Tasten (Abb.6 ) eingebaut (s. Enders 2005, S. 13ff.).
Für die stets harmonisch...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 208 / 2018

Irrationale Zahlen

Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 9-13