Werner Blum, Liane Stephan

Das Rechteckmodell bei der Division von Bruchzahlen

Werner Blum, Liane Stephan

Wir stellen eine geometrische Veranschaulichung der Bruchdivision vor, die wir in einem laufenden Fortbildungsprojekt mit Mathematiklehrkräften der Sekundarstufe I eingesetzt haben und die dort auf große Resonanz gestoßen ist. Diese Veranschaulichung hat gewisse Analogien zur Rechteckdarstellung der Bruchmultiplikation und macht, mit Bezug auf die Anteil- und die Aufteil-Vorstellung, in wenigen Schritten die allgemeine Regel für die Bruchdivision verständlich.
Das Rechteckmodell bei der Multiplikation
Eine wohlbekannte Veranschaulichung der Multiplikation von Bruchzahlen ist das Rechteckmodell (siehe z.B. Padberg & Wartha 2017, Abschnitt 7.5). Dabei wird das Ganze als Rechteck dargestellt, der Multiplikand als der entsprechende Anteil dieses Rechtecks und der Multiplikator als der entsprechende Anteil dieses Anteils, geschickterweise orthogonal dazu. Hierbei wird also auf die Anteil-Vorstellung von Bruchzahlen zurückgegriffen und die Multiplikation als Anteilbildung gedeutet. Den Multiplikanden kann man dabei als Größe deuten, z.B. als Volumen, während der Multiplikator eine Zahl ist.
Beispiel:
2534gedeutet als 25von 34, konkret 25von 34Liter Wasser. Wie viel ist das?
Im ersten Schritt stellen wir uns einen 1-Liter-Behälter vor, in dem sich 34Liter Wasser befinden (Abb. 1 ).
Im zweiten Schritt kennzeichnen wir 25dieses Volumens (Abb. 2 ). In natürlicher Weise ist der Behälter in dieser Darstellung nun in 5∙4 gleich 20 gleich große Teile eingeteilt, das sind also jeweils 20stel-Liter. Der 34Liter besteht aus 53 gleich 15 dieser 20 Teile, und 25davon sind 23 gleich 6 dieser Teile.
Ergebnis: Es sind 6 der 20stel-Liter-Teile, also 620Liter, oder, wenn man kürzen will, 310Liter.
Analyse: 25von 34Liter sind also gleich 2354Liter, oder rein mit Zahlen 2534=2354.
Das kann man, wenn man möchte, verallgemeinern, da offenbar keine Spezifika der konkreten Zahlen verwendet worden sind: abcd= acbd.
Übertragung auf die Division
Wir übertragen die Idee der Rechteckdarstellung auf die Division von Bruchzahlen. Das ist naheliegend und auch per se nicht neu, doch hieraus wie bei der Multiplikation...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 221 / 2020

Motivation

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