Sebastian Kollhoff

Brüche als Maschinen

Sebastian Kollhoff

Das Operatorkonzept bei Brüchen ist keine neue Idee, es war insbesondere in den 1970er- und 1980er-Jahren ein fester Bestandteil des Mathematikunterrichts (vgl. Oehl 1970, Griesel 1981, Postel 1981). Obgleich das Konzept von Operatoren eher abstrakt ist, so bietet es eine Reihe von Anknüpfungspunkten im Unterricht, und zwar nicht nur in der Bruchrechnung, sondern auch in der Prozent- und Zinsrechnung, beim Umformen von Termen und Lösen von Gleichungen sowie beim Bestimmen der Steigung einer linearen Funktion.
Grundvorstellung „Bruch als Operator
Bei der Interpretation eines Bruchs als Operator repräsentiert der Bruch eine Funktion, die multiplikativ auf eine Zahl oder eine Größe wirkt:
34von 200 € sind 150 €.
Der Bruchoperator 34kann dabei als Hintereinanderausführung der zwei Teiloperatoren · 3 und : 4 aufgefasst werden. Der Zähleroperator bewirkt dabei eine Vervielfachung, während der Nenneroperator eine Division der Eingabe bewirkt. Die Verkettung dieser beiden Teiloperatoren entspricht der Multiplikation mit der Bruchzahl.
Für Schülerinnen und Schüler ist diese Grundvorstellung von Brüchen häufig nicht so einfach aufzubauen, da Brüche im Alltag zumeist als Anteile, wie etwa ein 34Kuchen oder eine 34Stunde auftreten und Operatoren im Allgemeinen nur schwer anschaulich und mit Bezug zur Erfahrungswelt der Lernenden repräsentiert werden können. Da ein tragfähiges und flexibles Verständnis die Ausbildung und Verknüpfung beider Grundvorstellungen Anteil und Operator erfordert, bietet es sich daher an, an die vorhandenen Anteilvorstellungen der Lernenden anzuknüpfen.
Die Bruch-Maschine
In dem Arbeitsblatt wird die seit Langem bewährte Idee aufgegriffen, sich die Bruchoperatoren als Maschinen vorzustellen. Auf der einen Seite wird etwas in die Maschine hineingegeben, die Maschine verarbeitet die Eingabe, und auf der anderen Seite der Maschine kommt ein Produkt heraus.
Die Aufgaben zielen dabei auf den Aufbau von drei wesentlichen Aspekten von Bruchoperatoren:
  • Operatoren können auf beliebige Größen angewendet werden.
  • Bruchoperatoren können eine Eingabe nicht nur verkleinern, sondern auch vergrößern (oder gleich lassen).
  • Die Reihenfolge der Teiloperatoren kann vertauscht werden.
Eingabe von beliebigen Größen
Durch das Eingeben der unterschiedlichen Größen soll herausgestellt werden, dass die Maschine stets auf die gleiche Weise funktioniert, unabhängig davon, welche Zahl oder Größe in sie hineingegeben wird. Aus diesem Grund sind in den Eingabekarten unterschiedliche gegenständliche Objekte abgebildet, die eine Verbindung zu verschiedenen Größenbereichen herstellen.
Verkleinern und Vergrößern der Eingabe
Eine verbreitete Fehlvorstellung zum Umgang mit Brüchen ist, dass die Multiplikation mit einem Bruch bzw. die Anwendung eines Bruchoperators die Eingabe stets verkleinert. Diese Fehlvorstellung geht zumeist zurück auf eine Übergeneralisierung der Wirkung von „echten Bruchoperatoren (das heißt Bruchoperatoren kleiner 1). Aus diesem Grund ist es wichtig, die betrachteten Bruchoperatoren systematisch zu variieren und eben auch „unechte Bruchoperatoren zu betrachten, die die Eingabe vergrößern. Durch Starten unterschiedlicher „Bruch-Programme können deren Wirkungen erkundet und miteinander verglichen werden.
Vertauschen der Teiloperatoren
Die Reihenfolge, in der die Teiloperatoren eines Bruchoperators angewendet werden, hat keine Auswirkung auf die Ausgabe. Beim Vertauschen der Reihenfolge sollte jedoch beachtet werden, dass die Teiloperatoren des Bruchoperators
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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 218 / 2020

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Unterricht (< 45 Min) Schuljahr 5-7