Heino Hellwig, Andrea Hoffkamp

„Aber das ist doch keine Zahl!“

Heino Hellwig, Andrea Hoffkamp

Irrationale Zahlen in der Sekundarstufe I

Aylin soll einen Zahlenwert für 2angeben. Sie gibt auf ihrem Taschenrechner die Wurzel aus 2 ein, starrt auf die Anzeige und sagt: „Aber das ist doch keine Zahl!. Aylins Bemerkung ist verständlich und rührend zugleich: Tatsächlich sind irrationale Zahlen etwas Neues und Ungewohntes in dieser Klassenstufe, und es hat auch in der Geschichte der Mathematik sehr lange gedauert, bis man diese Zahlen erfassen und genau beschreiben konnte.
Aylins Problem zeigt, dass es wichtig ist zu erfahren, weshalb sich Zahlen wie 2 oder auch π von all den Zahlen, die sie zuvor kennengelernt hat, unterscheiden und was das Neue daran ist. Hierzu sind verschiedene Erfahrungen und sicherlich auch handfeste Begründungen nötig. Erst dadurch kann verständlich werden, warum man ihnen neue Zahlzeichen wie 2oder π zuordnen muss.
Irrationale Zahlen sind abstrakte Konstrukte und deswegen schwer vermittelbar. Als Lehrkraft muss ich abhängig von der Lerngruppe entscheiden, wie viel Einblick in innermathematisches Arbeiten und innermathematische Konzepte ich vermitteln kann und möchte.
Ich möchte Aylins Aussage aufgreifen, den Zahlenbereich der Bruchzahlen in Klasse 9 nochmals genauer unter die Lupe nehmen und dabei gleichzeitig Wiederholungen einbauen, z. B. die Umwandlung zwischen der Bruch- und der Dezimalzahlschreibweise.
Wurzeln in der Geometrie
Eine erste Begegnung mit irrationalen Zahlen findet oft dadurch statt, dass nach der Seitenlänge eines Quadrates mit doppeltem Flächeninhalt des Einheitsquadrates gesucht wird (Abb. 1 ). Gesucht wird also die Seitenlänge eines Quadrates, dessen Flächeninhalt gerade 2 ist. Diese Zahl wird dann 2genannt. Variantenreicher lässt sich dies allerdings mithilfe eines Geobretts erarbeiten und erkunden.
Dazu setze ich den Arbeitsbogen „Quadratsuche (KV14 ) ein, der u. a. folgende Aufgaben- und Fragestellungen enthält:
Auf dem Geobrett sind verschiedene Quadrate gespannt. Bestimme für die Quadrate jeweils den Flächeninhalt und die Seitenlänge. Bei welchen Quadraten fällt es dir leicht, bei welchen eher schwer? Woran liegt das?
Nach einer Phase des Probierens äußern einige Schülerinnen und Schüler, dass es leicht sei, die gesuchten Seitenlängen herauszufinden, wenn die Größe des Flächeninhalts durch eine Quadratzahl gegeben ist. Aber wenn der Flächeninhalt z. B. fünf Flächeneinheiten beträgt, so müsste man eine Zahl finden, die mit sich selbst multipliziert gerade fünf ergibt. Die Jugendlichen begeben sich mithilfe des Taschenrechners auf die Suche und finden durch Probieren erste Näherungen für 5.
Ganz nebenbei wird die Idee der Flächenmessung wiederholt.
Irrationale Zahlen und der Taschenrechner
Nachdem wir dann schließlich die Quadratwurzeln als diejenigen positiven Zahlen eingeführt haben, die mit sich selbst multipliziert eine natürliche Zahl ergeben, lasse ich die Schülerinnen und Schüler mit der „Wurzel-Taste des Taschenrechners experimentieren.
Aylins Taschenrechner gibt für 2 die folgende Zahl aus (Abb. 2 ).
Dies nutze ich, um Aspekte des Themas der Bruchrechnung nochmals zu beleuchten:
Bricht die Zahl an dieser Stelle ab? Woher kommen die vielen Nachkommastellen? Wie bestimmt der Taschenrechner diese Ausgabe? Und überhaupt wie war das nochmal mit unseren Bruchzahlen: Wie viele Kommastellen können dort vorkommen? Können es auch unendlich viele sein und wie würde das aussehen?
Mit dem Arbeitsbogen (KV15 ) lasse ich die Schülerinnen und...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik 5-10 Nr. 47 / 2019

Zahl um Zahl

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