Verhältnisse

Verhältnisse

Mathematik lehren | Ausgabe Nr. 179/2013

Verhältnisse tauchen in der Schulmathematik nicht nur bei der Bruchrechnung oder in der Geometrie auf – auch bei Wahrscheinlichkeiten oder bei der Definition der Sinusfunktion kommen sie vor. Und viele Anwendungsaufgaben, wie etwa das Umrechnen von Maßstäben oder Peilung mithilfe des Strahlensatzes beruhen auf Verhältnisbetrachtungen.

Inhaltsverzeichnis
Verhältnisse und Brüche – ein ambivalentes Verhältnis? Die Mischung macht’s
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 5-6

Beim Einstieg in Bruchzahlen ist es wichtig, Vorstellung aufzubauen, was ein Bruch überhaupt ist. Dabei kann sowohl das Teilen eines Ganzen hilfreich sein, als auch das Zusammenfügen von Teilen zu einem Ganzen, um den Verhältnisaspekt bei Brüchen frühzeitig mit anzuregen. Am Beispiel des Mischungsverhältnisses zweier Säfte (Kirsch-Banane) wird systematisch deutlich, was eine „2 zu 3“ Mischung von einer „1 zu 4“ Mischung unterscheidet.

Foto: Pixabay/José Manuel de Laá
Verhältnisse, Brüche und Wahrscheinlichkeiten
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 4-6

Verhältnisse wie „5 von 20“ sind einfacher zu begreifen als Brüche und können erfolgreich in der Sekundarstufe eingesetzt werden, um Kindern erste Elemente probabilistischen Schlussfolgerns zu vermitteln. Dieser Beitrag ist der Behandlung solcher Verhältnisse gewidmet. Mit einem interaktiven Applet kommen Schülerinnen und Schüler den Verhältnissen bei bedingten Wahrscheinlichkeiten auf die Spur.

Verhältnisse darstellen
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 7-8

Ein Verhältnis, welches mit Prozent ausgedrückt wird, ist eine mit der Bruchrechnung zusammenhängende Abstraktion. Um so wichtiger ist es, den Prozentbegriff anschaulich und verständnisorientiert einzuführen. Darstellungen unterstützen Lernende dabei, über das Sehen zum Verstehen und schließlich zur Lösung zu kommen. Im Beitrag werden Veranschaulichungsmöglichkeiten zu Verhältnisaufgaben aufgezeigt und erläutert, wie die „darstellende Auffassung“ bei der Betrachtung von Verhältnissen hilfreich sein kann.

Die Bedeutung von Anteilen und Prozenten verstehen Wäre die Welt ein Mathekurs …
Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 7-8

61 % der Menschen unserer der Weltbevölkerung stammen aus Asien und 12 % aus Europa. Und nur ca. 43 % afrikanischer Kinder werden eine Schule besuchen. Was soll man sich darunter vorstellen? In Gruppenarbeit übertragen die Schüler prozentuale Angaben zu derartigen globalen Aussagen auf ihren Mathe-Kurs (Wie viele von uns kämen dann aus Asien?) und präsentieren das Ergebnis ihren Parallelklassen in einer Theaterszene.

Was hat Skifahren mit Trigonometrie zu tun? Verhältnismäßig: viel!
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 9-12

Für ganz unterschiedliche Probleme kann das Bilden von Verhältnissen der Schlüssel zur Lösung sein. Dies gilt für Menge / Preiszuordnungen ebenso wie für das Kürzen von Brüchen, für Ähnlichkeitsabbildungen oder für die Betrachtung von Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck. Der in frühen Klassenstufen entwickelte Blick auf Verhältnisse kann in den höheren Klassen zunehmend geschärft und (u. a.) dazu genutzt werden, Trigonometrie zu verstehen.

Foto: Pixabay/ejaugsburg
Wappen oder Zahl beim schnellen Drehen einer Münze Verhältnismäßig fair?
Unterricht (< 45 Min) Schuljahr 7-10

Machen wir uns bei einem uns bislang unbekannten und mit dem Werfen einer Münze verwandten Zufallsexperiment Gedanken, ob die Prägung von Zahl- und Wappenseite einen Einfluss auf das Verhältnis hat, mit dem wir die beiden Seiten erhalten? Anhand des schnellen Drehens einer Münze ermitteln die Schülerinnen und Schüler das Verhältnis Zahl : Wappen bei zehn bzw. zwanzig Versuchen und schließen begründet auf das Verhältnis nach dem 100. Versuch.

Gehaltserhöhungen ändern die Einkommensverhältnisse Lohnschere(reien)
Unterricht (< 45 Min) Schuljahr 7-13

Das Verhältnis der Einkommen von gut zu weniger gut verdienenden Arbeitnehmern ändert sich mit den von Gewerkschaften und Arbeitsgebern ausgehandelten Tariferhöhungen. Wie also bleibt ein Lohnabschluss „verhältnismäßig gerecht“? Anhand einer Sequenz von drei Aufgaben können sich die Schülerinnen und Schüler intensiver mit diesem Sachverhalt auseinandersetzen – und dabei den Umgang mit Prozenten vertiefen.

Foto: Pixabay/Hebi B.
Verhältnisse im propädeutischen Analysisunterricht Welche Fläche hat eine Parabel?
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 11-12

Der Beitrag zeigt einen historisch orientierten Unterrichtsgang, in dem sich die Schüler am Beispiel der Parabelquadratur des Archimedes über einfache Verhältnisbetrachtungen am Waagemodell grundlegende Ideen und Erkenntnisse der Integralrechnung, nämlich die Flächenzerlegung in infinitesimal kleine Streifen sowie die Unter-/Obersummenapproximation, selbst erarbeiten, zudem den Flächeninhalt eines Parabelsegments bestimmen können.

Schöne Dreiecke
Methode & Didaktik Schuljahr 7-10

Bei Dreieckskonstruktionen ist es für Schüler oft eine hilfreiche Lösungskontrolle, wenn die gemessenen Seitenlängen ganze Zahlen ergeben. Bei rechtwinkligen Dreiecken haben wir mit den pythagoräischen Zahlentripeln (x, y, z) mit x² + y² = z² ein gutes Beispiel. 
Doch auch für Dreiecke mit einen Winkel von 60 ° (oder 120 °) lassen sich zugehörige Tipel (a, b, c) ganzer Zahlen finden mit a² + b² – 2ab = c² (bzw. a² + b² + 2ab = c²). Schöne Dreiecke eben.

Verhältnisse ändern sich Ideenkiste
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 7-10

Zwei Beispiele zum Erkunden von Verhältnissen am menschlichen Körper werden vorgestellt. Der Künstler Nicolay Lamm hat eine „realistische“ Barbiepuppe entworfen. Diese hat andere Proportionen als das Original, ist hübsch und wäre in der Realität auch lebensfähig. Das zweite Beispiel vergleicht ein Kleinkind mit einem Erwachsenen. Die Aufgaben sind zunächst für eine 7. Klasse als produktive Übung gedacht. Sie lassen sich in höheren Klassen einsetzen, wenn der Vergleich von Längen und Volumina ergänzt wird.

Der Goldene und der Diamantene Schnitt MatheWelt
Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 9-10

Der „Goldene Schnitt“ und auch der im asiatischen Raum verbreitete „Diamantene Schnitt“ (√2 : 1) stehen im Zentrum dieses Schülerarbeitsheftes. Ausgehend von Beispielen und den jeweiligen Definitionen konstruieren die Schülerinnen und Schüler Strecken, die in den entsprechenden Teilverhältnissen geteilt werden. Sie basteln aus Tonkarton einen Goldenen bzw. einen Diamantenten Zirkel und untersuchen damit Bilder und Figuren im Heft oder auch Gegenstände daheim auf diese besonderen Teilverhältnisse.