Ursula Bicker

Welcher Würfel ist am besten?

Die drei Efron-Würfel
Die drei Efron-Würfel, © Friedrich Verlag

Ursula Bicker

Gewinnwahrscheinlichkeiten bei den Würfeln von Efron untersuchen

Die Würfel von Efron (Abb. 1 , KV16 ) stellen den gesunden Menschenverstand auf den Kopf: Keiner dieser Würfel ist „am besten, sondern jeder kann von einem anderen Würfel geschlagen werden. Dieses erstaunliche Phänomen sollen meine Schülerinnen und Schüler untersuchen, indem sie gegen mich spielen. Mit einem selbst festgelegten Wetteinsatz bringe ich sie dazu, sich intensiv mit den Gewinnmöglichkeiten der einzelnen Würfel zu beschäftigen, um den besten herauszufinden.
Um eine gute Wahl zu treffen, ist es nicht erforderlich, Wahrscheinlichkeiten exakt zu berechnen, sondern es reicht aus, sich auf Argumente der Form „dieser Würfel ist besser als der andere oder „damit gewinnt man weniger als die Hälfte usw. zu beschränken. Da die Lernenden noch keine systematische Darstellung wie etwa zweistufige Baumdiagramme kennen, können sie die Situation zunächst nur anschaulich erfassen und die Chancen von zwei Würfeln im direkten Vergleich verbalisieren.
Um die Würfel auseinanderzuhalten, geben wir ihnen aussagekräftige Namen, wir sprechen von dem Dreier-, Vierer- und Fünferwürfel, jeweils benannt nach der höchsten vorkommenden Zahl. Immer wieder werden von den Schülerinnen und Schülern in ihren Argumentationen auch die Würfelfarben benutzt, daher wähle ich für die einzelnen Würfel immer die gleichen Farben.
Die Herausforderung
Zu Beginn der Stunde stelle ich die drei Würfel vor und erläutere die Spielregeln: Die Klasse darf als Erstes einen der Würfel auswählen, ich nehme dann einen der beiden übrigen Würfel. Jonas, der Klassensprecher, würfelt für die Klasse. Jeder hat genau einen Wurf. Die höhere Zahl gewinnt. Da die Zahlen auf den Würfeln unterschiedlich sind, kann es kein Unentschieden geben.
Wir handeln gemeinsam unsere Wetteinsätze aus. Falls ich verliere, biete ich ein „Hausaufgabenfrei für eine der nächsten Mathestunden an. Nach einigem Hin und Her verpflichtet sich die Klasse, falls sie verliert, in den nächsten vier Mathestunden jeweils zu Unterrichtsbeginn vorbereitet zu sein, indem sie ihre Tische aufgeräumt und das Material bereitgelegt haben.
Um den besten Würfel zu finden, lasse ich nach dem Ich-Du-Wir-Prinzip arbeiten. Die Klasse wird in Vierergruppen eingeteilt; jede Gruppe soll zunächst einen Vorschlag für den besten Würfel erarbeiten. Jedes Team bekommt ein Set mit den drei Würfeln und eine Rohvorlage für ein Placemat, auf dem die drei Würfel mit ihren Netzen abgebildet sind. In der Ich-Phase hält jeder in seinem Placemat-Feld seine Gedanken zu den drei Würfeln fest, danach wird es reihum vorgestellt und gemeinsam ausdiskutiert, welchen Würfel die Gruppe vorschlagen will. Das Ergebnis wird in der Mitte des Placemat mit einer kurzen Begründung festgehalten.
Obwohl in allen Gruppen die Würfel zur Verfügung stehen, werden diese nur ausgiebig betrachtet, keiner kommt auf die Idee, mit diesen zu würfeln und so experimentell die Würfel gegenseitig auszutesten. In anderen Lerngruppen habe ich es schon öfters erlebt, dass eine Gruppe angefangen hat zu würfeln und dies schnell von den anderen Gruppen aufgenommen wurde.
Die Argumente
Die meisten Gruppen haben den Viererwürfel als beste Wahl notiert. Beim Vorstellen der Gruppenergebnisse im Plenum halte ich die wesentlichen Argumente auf einem Plakat fest, das während der Unterrichtseinheit im Klassenraum verbleibt und nach und nach mit weiteren Ergebnissen gefüllt wird (Abb. 2 ).
Viele Gruppen haben zunächst die Zahlen addiert. Da sich dabei immer 18 ergibt, werden die Würfel zunächst als gleich gut eingeschätzt. Eindeutig am unbeliebtesten ist der Dreierwürfel, weil dabei das Ergebnis von vorneherein feststeht: „Das ist ja gar kein richtiger Würfel. Die Aufmerksamkeit richtet sich zunächst auf den Fünferwürfel, da dort die höchste Zahl ist: „Die Fünfen sind gut, aber es sind zu wenige. Die Zweien verlieren gegen die Dreien und gegen die...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik 5-10 Nr. 53 / 2020

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