Christoph Maitzen

Welche Rolle spielt die Form?

Lego-Vierer-Würfel
Lego-Vierer-Würfel, Foto: Christoph Maitzen

Christoph Maitzen

Häufigkeitsverteilungen abschätzen

Ich möchte in meinem Mathekurs Nicht-Laplace-Zufallsgeräte behandeln. Meine Schülerinnen und Schüler sollen diesmal bewusster den Einfluss sowohl der Geometrie als auch der Masseverteilung bei Zufallsgeräten auf die Häufigkeitsverteilung untersuchen. Als Nicht-Laplace-Zufallsgeräte habe ich Holzquader, Lego-Vierer und Lego-Achter bereitgelegt.
Die Vorgehensweise
Mit einem Stapel Würfelbecher, einigen Quader-, Lego-Vierer- und Lego-Achter-Würfeln ausgestattet, betrete ich den Klassenraum. Bei dem Anblick der Becher ist der Klasse schon klar, dass heute wieder ausgiebig gewürfelt wird.
Ich teile die Lernenden, so wie sie sitzen, in zwei Gruppen auf. Die einen erhalten das Arbeitsblatt für den Quaderwürfel und die andere Hälfte für den Lego-Vierer-Würfel (KV13 ). Mir ist es wichtig, die Arbeitsaufträge auf dem Arbeitsblatt schrittweise mit den Lernenden ausführlich zu besprechen, damit sie wissen, worauf sie bei der Aufgabenbearbeitung achten sollen:
Im ersten Schritt soll der Würfel genau betrachtet werden, um begründet eine erste Schätzung für die Häufigkeitsverteilung abzugeben. Anschließend soll 100-mal mit dem Würfel gewürfelt werden, um experimentell eine Häufigkeitsverteilung zu erzeugen. Im dritten und letzten Schritt sollen die Schätzung mit der erwürfelten Verteilung verglichen und ggf. begründet eine zweite Schätzung abgegeben werden. Damit die Würfelgeräusche nicht so laut sind, sollen die Lernenden den Würfelbecher auf ihre Hefte und nicht auf den Tisch aufschlagen.
Wie oft werden vermutlich die einzelnen Seiten gewürfelt?
Alle Lernenden erkennen beim Quaderwürfel (Abb. 1 ), dass die Flächen mit den Zahlen 2 und 5 wegen ihrer Größe häufiger gewürfelt werden als die anderen. Der Unterschied zwischen den Flächen 1, 6, 3 und 4 wird von den meisten Lernenden bei der ersten Schätzung nicht gesehen (vgl. Abb. 2 ). Nur sehr wenige erkennen, dass sich auch diese Flächen in der Größe unterscheiden und sie deshalb vermutlich nicht gleich oft gewürfelt werden.
Nach dem Ermitteln der absoluten Häufigkeiten der einzelnen Quaderseiten, geben die meisten unbegründet eine Schätzung für die Wahrscheinlichkeit des Fallens der einzelnen Seiten an, die sich in der Regel an der relativen Häufigkeit ihrer Würfelergebnisse orientiert.
Auch beim Lego-Vierer-Würfel (Abb. 3 ) erkennen die Lernenden den Einfluss der Geometrie auf die Verteilung der gewürfelten Zahlen (vgl. Abb. 4 ). Der Einfluss der Gewichtsverteilung auf die Zahlen 3 und 4 wird nur von zwei Lernenden bei der Verteilung ohne Begründung angegeben.
Auswertung der Ergebnisse
Die erwürfelten absoluten Häufigkeiten tragen die Lernenden auf einer vorbereiteten Folie ein, die Werte werden anschließend an die Wand projiziert und gemeinsam ausgewertet. Mit dem Taschenrechner ermitteln sie die summierte absolute und die relative Häufigkeit (Abb. 5 ).
Die meisten staunen nicht schlecht, als sie erkennen, dass sich beim Quaderwürfel die relativen Häufigkeiten der Seiten 1 und 2 bzw. 5 und 6 deutlich unterscheiden. Nochmals wird der Quaderwürfel von den Lernenden genau betrachtet. Durch Nachmessen wird ihnen nun klar, dass auch die benachbarten Seitenflächen unterschiedlich groß sind und sich somit auch die Verteilung der Häufigkeiten erklären lässt. Die Ergebnisse werden an die Tafel geschrieben: Die Größe der Quaderfläche beeinflusst die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zahl gewürfelt wird.
Auch beim Lego-Vierer-Würfel hilft die genaue Betrachtung des Würfels weiter. Als Ergebnis wird festgehalten: Die vier Seitenflächen (Zahlen 1, 2, 5, 6) sind gleich groß, d.h., diese Zahlen werden etwa gleich häufig gewürfelt. Die Ober- und Unterseite sind gleich groß und größer als die Seitenflächen, deswegen ist deren Häufigkeit größer als die der Seitenflächen. Die Oberseite (Zahl 4) ist wegen den Noppen schwerer als die Unterseite (Zahl 3), sodass der Würfel eher auf der schwereren Seite...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik 5-10 Nr. 52 / 2020

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