Daten ordnen und interpretieren

Statistik auf der Babystation

Die Geburt eines Kindes ist ein aufregendes Ereignis, das klassischerweise sogar in der Zeitung bekanntgegeben wird. Neben dem Namen und dem Geburtstag erfahren wir meist auch, wie groß und wie schwer das Neugeborene ist. Der Blick in die Babygalerie eines Krankenhauses liefert Daten, zu denen allererste einfache statistische Überlegungen angestellt werden können. Wir haben einige Anregungen zusammengestellt.

Baby mit rosa Bändchen
Neugeborene erhalten ein Bändchen: rosa oder blau, je nach Geschlecht Foto: rawpixl/Pixabay CC0 Creative Commons

Manche Krankenhäuser stellen die Daten der in den letzten Monaten geborenen Kinder in „Babygalerien“ für eine gewisse Zeit ins Internet. Hier werden neben dem Tag und der Uhrzeit auch Fotos, Name, Geschlecht (blau oder rosa), Gewicht und Länge bzw. Größe angegeben.

Im Unterricht lassen sich daraus selbst Tabellen erstellen, oder man teilt eine (authentische) Datenliste in der Klasse aus. Gemeinsam entdecken die Schülerinnen und Schüler quantifizierbare Aspekte von Kindergeburten.

Auszug aus dem Geburtenbuch
In einem Geburtenbuch werden die Daten der Neugeborenen erfasst, unter anderem Geschlecht, Gewicht, Größe.

Eine Geburtenstatistik und erste Fragen

Beim Blick auf die Tabelle fällt auf: Die neuen Erdenbürger haben keinen Namen, sondern Nummern. Warum? So wird die Anonymität gewahrt. Wir können den Kindern auch Namen geben, dann allerdings – wegen der Identifizierbarkeit – jedem einen anderen. Bevor konkrete Aufgaben angepackt werden, sollte gemeinsam ein eher qualitatives Fragenpaket entwickelt und an der Tafel notiert werden:

  • Sind die 22 Geburten einigermaßen gleichmäßig auf die 31 Tage im Januar verteilt?
  • Gibt es besonders viele Sonntagskinder?
  • Gibt es ungefähr gleich viele Mädchen wie Jungen? Wechselt das ständig ab?
  • Wie schwer ungefähr ist ein neugeborenes Kind?
  • Sind Jungen meist schwerer als Mädchen?
  • Sind Mädchen meist länger als Jungen?
  • Sind in der Regel die größeren Kinder auch die schwereren?

Je nach Zeit und Voraussetzungen in der Klasse wird die eine oder andere Aufgabe nun genauer formuliert, durchgearbeitet und sachkundlich gedeutet. Hier gibt es viele Möglichkeiten zum Fragen, Weiterfragen, Ordnen und Klassifizieren, Darstellen und Rechnen mit Größen.

Tabelle, in der die Kinder nach Gewicht sortiert werden
Die Kinder werden nach ihrem Gewicht sortiert.

Geburtsdaten

Einen Überblick – wörtlich zu nehmen – über die Kalendertage liefert ein einfacher Eintrag in ein Kalenderblatt (etwa * für Junge und ° für Mädchen). Doch schon vorab kann man überlegen: Bei 31 Tagen und 22 Geburten muss es wenigstens 31 – 22 = 9 Tage ohne Geburten geben. Je höher diese Zahl ist, umso mehr sind die Geburten auf wenige Tage konzentriert.

Und der Durchschnitt?

Möglicherweise kommt das Gespräch auf die mittlere (durchschnittliche) Zahl von Geburten pro Tag. Das wäre hier: 22 Geburten gleichmäßig verteilt auf 31 Tage. Das geht natürlich nicht (zumindest nicht in den unteren Klassen). Gleichwohl ist die Diskussion nützlich, weil sie eine Erfahrung zum stets fiktiven Charakter von Durchschnittswerten und eine Vorerfahrung zu Brüchen bietet. Ein mögliches Resultat: Im Durchschnitt gibt es pro zwei Tage mehr als eine Geburt, pro drei Tage fast zwei Geburten.

Zeitschrift
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Die Leitidee Daten und Zufall umfasst auch die Beschreibende Statistik. Es geht darum, Datensätze zu analysieren und sachgerecht zu deuten. Grundlegend ist dazu sicherlich ein mathematisch-statistisches Grundwissen.

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Junge-Mädchen-Wechsel

In unserem Datensatz sind es fast so viele Mädchen (zehn) wie Jungen (zwölf). Das passt zur weltweiten Erfahrung, dass mehr Jungen als Mädchen geboren werden: Die Wahrscheinlichkeit für eine Jungengeburt beträgt etwa 0,541 > 0,5).

Wie ist es mit dem Wechsel? Wir können die Abfolge verkürzt so notieren:

JMMJMMMJMJJMJJJMJMMJJJ

Es kommen einmal drei Mädchen und sogar zweimal drei Jungen hintereinander. Ist das nicht sonderbar? Es hätte bei zwölf Jungen und zehn Mädchen ja auch ganz anders ausgehen können. Wie sehen extreme Möglichkeiten aus?

  • Nur ein Wechsel (minimal): JJJJJJJJJJJJMMMMMMMMMM
  • Zwanzig Wechsel (maximal): JMJMJMJMJMJMJMJMJMJMJJ

Und dazwischen gibt es noch sehr viele weitere mögliche Reihenfolgen. Die tatsächliche Reihenfolge hat zwölf Wechsel – also ungefähr in der Mitte zwischen 0 und 20. Will man ein Gefühl für die Normalität der wirklichen Reihenfolge ermöglichen, kann man die Schülerinnen und Schüler als kombinatorische Aufgabe alle Möglichkeiten für beispielsweise drei Jungen und drei Mädchen finden lassen. Hierzu eignen sich farbige Plättchen. Wer findet alle zwanzig Anordnungen?  Von den zwanzig Möglichkeiten sind vier „extrem“, nämlich zwei mit genau einem Wechsel (von Jungen zu Mädchen oder andersherum) und zwei alternierend – und mehr kann es nicht geben.  

Eine weitere stochastische Erfahrung wäre es, wenn man mit verbundenen Augen oder unter einem Tuch Sechserreihen aus z.B. drei roten und drei blauen Plättchen legen würde. Da ist zu erwarten, dass Extreme selten vorkommen. Aber wie selten kommen sie vor?

Die Babys werden hinsichtlich ihres Gewichts auf dem Zahlenstrahl verortet.
Die Babys werden hinsichtlich ihres Gewichts auf dem Zahlenstrahl verortet.

Gewicht und Größe

Nur zwei der Babys haben genau dasselbe Gewicht. Das Gewicht der Kinder schwankt zwischen 2220 g (leichtestes Kind, ein Mädchen) und 4165 g (schwerstes Kind, auch ein Mädchen). Wie schwer ist das? 3000 g = 3 kg. Das ist so schwer wie drei Liter Milch, wie dreißig Tafeln Schokolade, wie ….

Mehr Überblick über das Gewicht der Kinder erhalten wir durch Anordnen in einer Liste nach aufsteigendem Gewicht. Noch informativer ist eine Zahlenstrahlgraphik. Jetzt sind Aussagen darüber möglich, wie die Gewichte streuen, etwa:

  • Die elf leichteren Kinder (die leichteste Hälfte) sind leichter als 3300 g.
  • Die elf schwereren Kinder (die schwerere Hälfte) sind schwerer als 3300 g.

Der Wert 3300 g trennt die beiden Hälften, man könnte ihn „Halbierungswert“ nennen, offiziell heißt er Median oder Zentralwert. Anstatt 3300 g könnten wir hier auch 3290 g oder 3365 g oder irgendeinen Wert zwischen 3280 g und 3450 g nehmen – Was ist nun richtig? So bestimmt man den Zentralwert: 

  • Alle Werte aufsteigend anordnen.
  • Falls die Anzahl der Werte ungerade ist, ist die mittlere Zahl der Zentralwert.
  • Falls die Anzahl der Werte gerade ist, kann man das arithmetische Mittel der beiden mittleren Zahlen als Zentralwert nehmen.

Relativ naheliegend ist die Frage nach dem Durchschnittsgewicht. Die Idee dabei ist: Wenn wir die Gewichte aller 22 Babys ausgleichen – die schwereren geben den leichteren etwas ab – wie schwer wäre dann jedes Kind? Dann hätte jedes Kind Durchschnittsgewicht und 22-mal dieses Durchschnittsgewicht ergibt das Gesamtgewicht aller Kinder. Also summieren wir alle 22 Gewichte auf und teilen dann diese Summe durch 22. Gerundet ergibt sich:

  • Durchschnittsgewicht aller Kinder: 72522 g : 22 = 3296 g
  • Durchschnittsgewicht aller Mädchen: 32602 g : 10 = 3260 g
  • Durchschnittsgewicht aller Jungen: 39920 g : 12 = 3327 g.

In unserer Statistik ist also das Durchschnittsgewicht der Jungen etwas höher als das der Mädchen. (Das stimmt auch mit der Großzahlforschung zusammen: Jungen 3500 g, Mädchen 3300 g).

Ganz ähnliche Fragen gibt es natürlich auch zur Körpergröße (etwa zum selbstständigen Vertiefen und Üben der neuen Konzepte). Hier fällt auf: Das kleinste Kind ist 44 cm (Junge), das größte ist 58 cm groß (auch Junge). Die Schwankungen sind auffallend gering: In den Bereich von über 48 cm bis unter 54 cm fallen 15 der 22 Kinder. Am häufigsten kommt die Größe 52 cm vor, ein Außreißer ist die Größe 58 cm von Kind Nummer 14. Normalerweise (80 %) sollen Mädchen bei der Geburt von 47 cm bis 52 cm, Jungen von 49 cm bis 52 cm groß sein.

Ausblick: Boxplot und Vierfeldertafel

Die Frage nach einem Zusammenhang zwischen Gewicht und Größe (Sind die großen Babys auch die schweren?) lässt sich mit einer Vierfeldertafel beantworten: Die 22 Neugeborenen werden zum einen nach Gewicht (leichter/schwerer) und zum anderen nach Größe (kleinere/größere) sortiert und die Nummern jeweils in das entsprechende Feld eingetragen. So gehört Kind Nummer 6 sowohl zu den elf kleineren als auch zu den elf leichteren Kindern usw. Nun wird jedes Feld ausgezählt – wir erhalten eine Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten. Was nicht verwundert: Die Summe der Anzahlen in jeder Zeile bzw. Spalte ist 11, da wir die Daten ja "halbiert" haben. Übrigens passen bei 18 der 22 Kinder Größe und Gewicht zusammen - da sind die kleineren auch die leichteren und die größeren die schwereren.

Auch der Weg von der geordneten Darstellung am Zahlenstrahl zum Boxplot ist nicht weit, ab Klasse 7 kann auf das hier vorgestellte Wissen aufgebaut werden.

Zum Weiterlesen

Der Beitrag beruht auf einem Artikel von Heinrich Winter und Johanna Heitzer, der im Sammelband "Wege in die Stochastik" erschienen ist. Dort wird unter anderem auch das Alter der Mütter für weitere Fragen genutzt (etwa ob jüngere Mütter eher Mädchen oder eher Jungen bekommen).

Mehr erfahren

Fakten zum Artikel
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 5-10
Zeitschrift
Mathematik 5–10 Nr. 43/2018 Was sagt mir das? Statistik(en) besser verstehen

Statistiken gehören ganz selbstverständlich zu unserem Alltagsleben. Egal, ob es um die Ergebnisse von Wahlen, die Vorhersage für das Wetter von morgen oder um das zu erwartende Ansteigen des Meeresspiegels geht. Immer bilden statistische Daten und Berechnungen die Grundlage. Grundkenntnisse in der Statistik gehören damit unbestritten zur Allgemeinbildung.

Statistik hat dabei viele Facetten. Der Prozess des Erstellens und Auswertens einer Datenanalyse kann in vier Schritte untergliedert werden:
(1) Fragen formulieren und Hypothesen erstellen
(2) Daten sammeln
(3) Daten auswerten und darstellen
(4) Daten interpretieren und präsentieren

Zu allen vier Schritten wurden in diesem Heft Beiträge zusammengestellt.

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