Pascal Schmidt

Wie gut ist das Ergebnis?

Pascal Schmidt

Validieren bei Modellierungsaufgaben zum Maßstab

Mathematisches Modellieren ist mittlerweile durch die Bildungsstandards in den Rang einer wichtigen mathematischen Kernkompetenz erhoben, und so finden sich inzwischen auch in den Schulbüchern aller Jahrgangsstufen zunehmend Aufgaben, die der Schulung dieser Fähigkeit dienen (sollen).
Braucht es da überhaupt noch weitere, zusätzliche Aufgaben? Um Sinn und Zweck der hier vorgestellten Aufgaben erklären zu können, möchte ich zunächst darauf eingehen, was man überhaupt unter mathematischem Modellieren versteht.
Im Optimalfall erfordert eine Modellierungsaufgabe das Durchlaufen einer Folge aufeinander bezogener Schritte, wie sie Hans Schupp in einem Modell von Modellbildung (Abb. 1 ) zusammengefasst hat (vgl. Schupp 1988):
  • Übersetzen einer Realsituation in ein mathematisches Modell („Mathematisieren),
  • arbeiten innerhalb des gewählten Modells („Deduzieren),
  • übertragen der innermathematischen Ergebnisse in den realen Kontext („Interpretieren),
  • überprüfen („Validieren) der Ergebnisse in der Realsituation.
Das Validieren soll verhindern, dass das erhaltene Resultat „gedankenlos hingenommen wird. Bei der kritischen Auseinandersetzung mit der eigenen Lösung können Leitfragen wie zum Beispiel „Entspricht das Ergebnis dem, was ich zuvor erwartet oder geschätzt habe? Orientierung bieten. Auch Informationen aus externen Quellen können genutzt werden, um die Stimmigkeit des Ergebnisses zu bewerten.
Ergeben sich bei dieser Prüfung begründete Zweifel an der Güte der eigenen Lösung, so müssen insbesondere die getätigten Vereinfachungen, Annahmen und Modellentscheidungen hinterfragt werden. Modifizierungen an dieser Stelle bewirken, dass auch innerhalb des mathematischen Modells Veränderungen vorgenommen werden müssen auf diese Art entsteht ein Kreislauf, der durchaus mehrfach durchlaufen werden kann (muss).
Validieren kommt oft zu kurz
Aufgaben zur Modellbildung für verschiedene Klassenstufen unterscheiden sich typischerweise in der Komplexität der Modelle und der Schwierigkeit des innermathematischen Arbeitens; gemein ist ihnen allerdings oft, dass sie mit dem Übertragen des mathematischen Ergebnisses in die Realsituation enden: Die Höhe, das Volumen, das Gewicht usw. eines Objektes wird angegeben, und dies beendet die Bearbeitung der Aufgabe. Damit lassen sich zwar verschiedene Teilkompetenzen trainieren, aber das Nachdenken über Grenzen der Genauigkeit, über Fehlerquellen und Ungenauigkeiten sowie das Kommunizieren und Diskutieren der Lösung kommen zu kurz.
Die hier vorgestellten Modellierungsaufgaben zeichnen sich durch zweierlei aus:
  • Beschränkung auf die Verwendung des Maßstabs zur Bestimmung von Höhen bzw. Längen (inhaltliche Reduktion).
  • Fokussierung auf die Phase des Validierens durch Präsentation von Zusatzinformationen, die Rückschlüsse auf die Güte der eigenen Lösung erlauben.
Die Aufgaben werden bewusst einfach und „klein gehalten, wodurch sie sowohl einen Einstieg in Modellierungsaufgaben als auch den Einsatz im alltäglichen Unterricht ermöglichen (vgl. auch Lambert 2007).
Modellieren mit Google Earth
Die Abbildung auf Arbeitsblatt 1 zeigt einen Ausschnitt eines Satellitenbildes, das mit der kostenfreien Software Google Earth erzeugt, bearbeitet und exportiert wurde. Die Verwendung derartiger Bilder wird von Google im Gegensatz zu Screenshots von Google Maps für den Unterricht oder in Fachzeitschriften ausdrücklich gestattet, sodass man sich hier in einem rechtlich gesicherten Rahmen bewegt.
Die Aufgabe für die Schülerinnen und Schüler besteht darin, die kürzeste Route (hier z.B. den Schulweg) zwischen zwei Orten zu bestimmen und ihre Länge näherungsweise zu berechnen. Dazu sind einerseits Vereinfachungen notwendig (z.B. Unterteilung des Weges in Geradenstücke), andererseits aber auch der Vergleich mit Objekten, deren Größe relativ gut geschätzt werden kann (hier z.B. Fußballfeld...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 200 / 2017

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Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 5-6