Frederik Dilling

Vom Hebel zum Flächenschwerpunkt

Geometrie, Schwerpunkt, Fläche
Wo liegt der Flächenschwerpunkt?, Foto: F. Dilling

Frederik Dilling

Archimedes von Syrakus gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker, Naturwissenschaftler und Ingenieure der griechischen Antike. Er nutzte vielfach Erkenntnisse seiner physikalischen Theorien zur Entwicklung und Begründung mathematischer Aussagen. Bei deren Herleitung bemühte er sich, streng axiomatisch vorzugehen. Exemplarisch dafür wird hier seine auf dem Hebelgesetz aufbauende Begründung der Flächenschwerpunkte ebener Figuren wie Parallelogramm und Dreieck vorgestellt.
Das Hebelgesetz
Die Entwicklung des heute als Hebelgesetz bekannten Zusammenhangs (umgangssprachlich: „Kraft mal Kraftarm ist gleich Last mal Lastarm) zwischen Längen und Gewichten eines Hebels war eine der grundlegenden physikalischen Erkenntnisse von Archimedes.1
Archimedes formuliert es um 250 v. Chr. in seinem Buch Über das Gleichgewicht ebener Flächen2 (Übersetzung von 1923). Hierin gibt er zunächst sieben Voraussetzungen an, in denen auch die im darauffolgenden Text verwendeten Begriffe geklärt werden. Außerdem formuliert er fünf Spezialgesetze. In § 6 folgt die heute als Hebelgesetz bekannte Aussage:
„Kommensurable Größen sind im Gleichgewicht, wenn ihre Gewichte ihren Hebelarmen umgekehrt proportional sind.
Im darauffolgenden Paragrafen wird derselbe Zusammenhang auch für nicht kommensurable Größen gefolgert. Damit gleicht das in der Schule gelernte Hebelgesetz im Wesentlichen der Formulierung von Archimedes.
Der Flächenschwerpunkt
eines Parallelogramms
Mithilfe des Hebelgesetzes (und der Spezialgesetze) bestimmt Archimedes die Flächenschwerpunkte ebener Figuren. Er beginnt seine Ausführungen mit dem Parallelogramm. In § 9 formuliert er:
„Der Schwerpunkt eines jeden Parallelogramms liegt auf der Geraden, die die Mitten zweier gegenüberliegenden Seiten des Parallelogramms miteinander verbindet.
Diese Aussage begründet er mithilfe eines Widerspruchsbeweises. Dabei geht er von der Annahme aus, dass der Schwerpunkt auf einem Punkt F außerhalb der besagten Geraden liegt. Ein Parallelogramm lässt sich in eine beliebige gerade Anzahl kongruenter Teilflächen, die ebenfalls Parallelogramme sind, aufteilen (Abb. 1 ).
Die Schwerpunkte der Teilparallelogramme liegen mit gleichen Abständen auf einer Geraden, damit muss der Schwerpunkt des Parallelogramms auf dem Mittelpunkt der Strecke liegen, die die beiden Schwerpunkte der beiden mittleren Teilparallelogramme verbindet. Wenn man die Teilflächen hinreichend schmal macht, liegt der Schwerpunkt F außerhalb der beiden mittleren Parallelogramme Widerspruch. Damit hat er die Lage von zwei Schwerlinien des Parallelogramms ermittelt. Zur Lage des Schwerpunkts folgert er dann (§ 10):
„Der Schwerpunkt jedes Parallelogrammes ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
Mit „Diagonale meint Archimedes allerdings die die beiden Mitten zweier gegenüberliegender Seiten verbindende Gerade. Nach § 9 liegt der Schwerpunkt auf jeder dieser „Diagonalen. Diese schneiden sich in einem Punkt, welcher folglich der Schwerpunkt ist (Abb. 2 ).
eines Dreiecks
Im Anschluss daran beschäftigt sich Archimedes mit den Schwerlinien und dem Schwerpunkt eines Dreiecks. In § 13 formuliert er:
„Der Schwerpunkt jedes Dreiecks liegt auf der Mitteltransversale.
Der Beweis zu den Seitenhalbierenden als Schwerlinien eines Dreiecks ist komplexer als beim Parallelogramm, gründet aber auf einer ähnlichen Idee. Angenommen, der Schwerpunkt befindet sich in einem Punkt F außerhalb der Mitteltransversalen AD. Das Dreieck wird durch das Ziehen von Parallelen zu AD und zur Dreiecksseite BC in kongruente Parallelogramme und Dreiecke geteilt (Abb. 3 )....

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 222 / 2020

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