Marie-Christine von der Bank

Michael Stifels Quadratbilder

Algebra, Geschichte der Mathematik, Stifel
Michael Stifel und eine seiner Quadratfiguren zum Lösen von Gleichungen, Grafik: Friedrich Verlag

Marie-Christine von der Bank

Quadratische Gleichungen geometrisch lösen

Die Idee zu meiner Unterrichtseinheit ist aufgrund der „etwas anderen Aufgabe in mathematik lehren 209 entstanden. Dort wurde die Gleichung
0,32 + 0,7 = 0,72 + 0,3
in den Blick genommen und gefragt, für welche weiteren Zahlen sie noch gilt. Diese Frage stelle ich auch meiner 9.Klasse, mit der ich zuvor schon quadratische Gleichungen der Form ax2 + d = e sowie ax2 + x = 0 gelöst hatte. Die meisten Lernenden probierten sofort mit ihren Taschenrechnern Zahlenpaare aus, und mir wurde klar, dass sie diese Gleichung gar nicht als quadratische Gleichung wahrnahmen (es kommt ja auch kein x2 vor). Zwei Schülerinnen erstellten eine Tabelle, in der sie die Zahlenpaare 0,1 und 0,9; 0,2 und 0,8; 0,4 und 0,6 usw. ausprobierten. Auf meine Frage, warum sie gerade diese Zahlenpaare wählten, antworteten sie ganz selbstverständlich: „Ach, muss die Summe nicht immer 1 ergeben? Bingo! Muss sie tatsächlich aber warum ist das so? Bei der Begründung schlugen die beiden zuerst den formal-algebraischen Weg ein und definierten Zahlen a und b, für die die obige Gleichung a2+b=b2+a lautet.
Diese Darstellung wurde nun auch als quadratische Gleichung erkannt, für die allerdings kein Lösungsverfahren bekannt war. Schafft man die beiden Quadrate auf die eine und den Rest auf die andere Seite, entsteht a2 – b2=a – b. Nun hilft die 3. binomische Formel. Auf der rechten Seite fehlt, neben den Klammern um a – b, die Multiplikation mit (a+b). Die Gleichung stimmt also nur, wenn die Summe der beiden Zahlen a und b gleich 1 ist.
Dies ist zwar eine schöne innermathematische Anwendung der 3. binomischen Formel, jedoch keineswegs unproblematisch zu bewältigen. Prinzipiell muss man wissen, wohin die Reise gehen soll, um überhaupt nach Potenzen und nicht nach Variablen zu ordnen um dann noch die verschwundene multiplikative 1 und so die 3. binomische Formel zu erkennen. Diese Schritte waren ohne meine Unterstützung (Anschreiben der 3. binomischen Formel in der bekannten Form und Ergänzen der multiplikativen 1) für meine Klasse zu groß.
Der „Rechtecktrick
Dies ist ein guter Zeitpunkt, um über alternative Begründungen nachzudenken, die leichter einzusehen sind. Aus dem vorherigen Unterricht ist bekannt, dass sich Terme geometrisch auch als Flächeninhalte deuten lassen. Quadrate liegen in den Termen bereits vor, aus den weiteren Summanden erschaffen wir durch Multiplikation einer formal-algebraisch neutralen 1 nun Rechtecke: 0,32+0,7·1=0,72+0,3·1.
Gesucht ist jetzt also eine Figur, die sich auf zwei unterschiedliche Arten in ein Quadrat und ein Rechteck zerlegen lässt jeweils mit den gegebenen Seitenlängen. Diese können wir finden, indem wir die durch die Gleichungen beschriebenen Teilfiguren passend in das bekannte aus Quadraten und Rechtecken bestehende Bild zur 1. binomischen Formel einbetten (Abb. 1 ).
Ich gab meinen Schülerinnen und Schülern Abb. 1 vor und ließ sie unsere Gleichung hineinsehen. Schnell war klar: Die beiden Rechtecke sind deckungsgleich und somit gilt unsere Argumentation offensichtlich für alle Zerlegungen der 1 in zwei positive Summanden. „Warum haben wir das nicht gleich so gemacht?, fragte ein Schüler. „Weil ihr als Erstes zwei Zahlen a und b definiert hattet, die Gleichung dadurch ausgedrückt und umgeformt habt, dachte ich. Auf meine Gegenfrage, welche Begründung ihnen besser gefällt, war das Urteil einstimmig: natürlich die geometrische! Davon wollten sie mehr sehen.
Wir vereinbarten, in der nächsten Stunde mehr Algebra im geometrischen Gewand zu machen. Ich verriet, dass solche geometrischen Begründungen wesentlich älter sind als die algebraische Schreibweise, und kündigte an, in der nächsten Stunde einen Blick in die frühe Neuzeit zu werfen, als man mit Quadratbildern quadratische Gleichungen löste.
Quadratbilder ein alter Hut
Die Idee, mit solchen Quadratbildern zu rechnen,...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 222 / 2020

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Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 9-9