Spielend Mathematik entdecken

Fabios Flächen und der Vier-Farben-Satz

Flächen färben – von leicht bis knifflig. Hier können alle mitmachen und immer schwierigere Aufgaben lösen oder selbst welche erfinden. Wo kommt man mit zwei oder drei Farben aus? Wann braucht man vier? Probieren Sie es aus! Als Variante können Sie auch Diplomante-Aerobic auf dem Schulhof spielen lassen: Das gleiche Prinzip. Welche Strategien entwickeln Ihre Schülerinnen und Schüler? Los geht´s!

Screenshot der Lern-App "Fabios Flächen"
Mit der App Fabios Flächen den Vier-Farben-Satz erfahren. © Stiftung Haus der kleinen Forscher
Knoten in einem Graphen werden gefärbt
Färbe die Knoten so ein, das Nachbarn verschiedene Farben haben! © Stiftung Haus der kleinen Forscher

Fabios Flächen ist ein Mathe-Lernspiel (online oder als kostenlose App). Es eignet sich sowohl im binnendifferenzierten Unterricht, in Freiarbeitsphasen oder für die Freizeit – falls Eltern Sie nach pädagogisch sinnvollen Apps für ihre Kinder fragen. Das Spiel richtet sich eigentlich an Grundschulkinder, ist jedoch mathematisch so gehaltvoll, dass man es gut auch in der 5./6. Klasse gewinnbringend einsetzen kann. Der Einstieg ist sehr einfach, und jeder kann auf seinem Niveau arbeiten, sodass hier ein gehaltvolles Lernen am gemeinsamen Gegenstand auch in inklusiven Klassen stattfinden kann.

Worum geht´s?

Viele Probleme aus der diskreten Mathematik sind leicht verständlich und können ohne großes Vorwissen experimentell erkundet werden. So auch hier: Ein geometrisches Muster, eine Landkarte ist vorgegeben und soll eingefärbt werden. Wie viele Farben braucht man? Nachbarflächen dürfen nicht die gleiche Farbe haben! Der Anfang ist leicht – doch von Level zu Level werden die Aufgaben komplizierter.

Dahinter steckt das sogenannte Vier-Farben-Problem, mit dem sich schon 1852 Francis Guthrie beschäftigte, ein Mathematiker und Botaniker: Er wollte in einer Karte die Grafschaften von England färben. Wenn man beliebig viele Farben zur Verfügung hat, ist das einfach. Offensichtlich reichen drei Farben nicht aus – und er kam in jedem konstruierten Beispiel mit weniger als fünf aus. So entstand die Vermutung (und nach deren Beweis der Satz): Es genügen vier oder weniger Farben, um die Länder einer beliebigen einfachen Karte so zu färben, dass benachbarte Länder verschiedene Farben haben.

Der Vier-Farben-Satz war das erste mathematische Problem, das mit Hilfe von Computern bewiesen wurde – zunächst durch Fälle, die einzeln gerechnet wurden, später durch einen formalen Beweis mit dem digitalen Beweisassistenten Coq.

Das Problem lässt sich auch graphentheoretisch stellen: Jedem Land wird ein Knoten zugeordnet, und benachbarte Länder werden durch eine Kante verbunden. Ist also jeder ebene Graph 4-färbbar? Im Spiel Fabios Flächen kann von der Karten-Darstellung auf die Graphen-Darstellung gewechselt werden.

Karte mit Personen, die stehen, hocken oder sitzen
Zwei Diplomaten müssen ihre Stellung ändern, damit sich alle von ihren Nachbarn unterscheiden! aus: mathematik lehren, Heft 129

Wie funktioniert das Spiel?

Das Spiel ist in eine Geschichte eingebettet: Fabio aus Peru will, um sein Herkunftsland zu zeigen, eine gemalte Südamerika-Karte mit Kreide färben – möglichst übersichtlich natürlich. Die Texte der Intro-Geschichte sind als Sprechblasen zu sehen und werden auch gesprochen (im Klassenraum wird man den Ton eher abschalten). Jeder kann sich im eigenen Tempo hier durchklicken und auch zurückblättern oder eben direkt loslegen.

 „Färbe die Flächen“ gibt es in zwei Stufen. In der leichten Variante gibt es immer acht  verschiedene Kreidestifte zur Auswahl. Rechts zeigt ein Reiter an, wie viele Farben man mindestens braucht. Wer wenige Farben nutzt, wird mit Sternen belohnt – wobei man diese nicht sammeln kann.
In der kniffligen Spielvariante gibt es weniger Farben, meistens genauso viele, wie man maximal braucht. Fabio gibt einen Hinweis, wenn man versucht, eine Fläche mit einer Farbe zu färben, die schon im Nachbarfeld vorhanden ist. Man kann weiterspielen und auch zwischendurch Flächen einfach umfärben.

„Lege die Flächen“ bietet die Möglichkeit, eine eigene Karte aus eckigen Formen herzustellen – einfach auf die Spielfläche ziehen – und einzufärben. Man kann die eigene Karte auch ausdrucken und so als Aufgabe an die Mitschülern stellen.

Zeitschrift
Mathematik 5–10 Nr. 40/2017 Geometrie im Spiel

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Was lernt man dabei?

Wird die Beschäftigung mit Fabios Flächen mit der Herausforderung verknüpft, mit möglichst wenigen Farben auszukommen, liegt hier eine gute Gelegenheit zum Problemlösen und Entwickeln von Strategien vor.

Im Unterricht können die Lernenden ihre Ergebnisse oder Lieblingskarten präsentieren: Welches Level war leicht, welches schwierig? Mit wie vielen Farben habe ich es gelöst – und wie bin ich vorgegangen? Die Erfahrungen im Spiel führen zu der Vermutung, vier Farben seien immer genug.

Auch allgemeinere Überlegungen sind möglich:

  • Kann man im Voraus sagen, wie viele Farben man mindestens braucht?
  • Wie sehen Landkarten aus, bei denen zwei Farben ausreichen?
  • Wie sehen Landkarten aus, bei denen drei Farben ausreichen?

Die beiden Darstellungen im Spiel zeigen, wie sich Karten durch Graphen darstellen lassen. Solche Graphen werden unter anderem in der Informatik für die Modellierung realer Probleme genutzt – etwa wenn für Funknetze eine bestimmte Anzahl von Frequenzen zur Verfügung stehen und zu nah beieinander stehende Sender in verschiedenen Frequenzen senden müssen. 

Variante: Raus auf den Schulhof

Eine Variante des Spiels ist das Diplomaten-Aerobic. Jeweils zwei Gruppen treten gegeneinander an. Jede Gruppe erhält dieselbe Landkarte, die mit Kreide auf den Pausenhof gezeichnet wird. Jedes Land hat einen Diplomaten, der sich natürlich von seinen Nachbarn unterscheiden und anders dastehen möchte! Anstatt unterschiedlicher Farben nimmt jeder eine der drei  Positionen ein: Stehen, Sitzen oder Hocken.  

  • Zeichnet eure Karte mit Kreide auf den Schulhof.
  • Bestimmt die Diplomaten in eurer Gruppe. Diese dürfen in ihrem Land stehen, sitzen oder hocken. 
  • Versucht, so schnell wie möglich eine Situation herzustellen, in der sich alle Diplomaten wohlfühlen!

Das Spiel lässt sich mehrfach spielen – es ist gut, mit einfachen Karten zu beginnen. Wird es zu kompliziert, kann man fragen, warum es keine Lösung gibt. Es sei denn, man führt eine vierte Stellung ein ...

Näheres zum Diplomaten-Aerobic finden Sie im Beitrag „Spielend Mathematik entdecken“ von Stephan Hußmann, Timo Leuders und Andreas Pallack in mathematik lehren Heft 129, S. 10 – 15.

Wo bekomme ich Fabios Flächen?

Sie können Fabios Flächen kostenlos als App herunterladen:
Download für Android 
Download für iOS
Oder online spielen: Lernspiel aufrufen
 

Eine Beschreibung des Spiels und Ideen für den Einsatz im Unterricht finden Sie in dem Dokument Lernbegleitung
Fabios Flächen wurde entwickelt von der Stiftung Haus der kleinen Forscher.  
Auf der Internetseite für Kinder meine-forscherwelt.de finden Sie noch weitere Spiele mit Tipps zur Lernbegleitung sowie technische Hinweise.

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