Hubert Langlotz, Andreas Prömmel, Wilfried Zappe

Die Würfelprobe

Hubert Langlotz, Andreas Prömmel, Wilfried Zappe

Warum Ostdeutsche angeblich häufiger mogeln

Die Frage nach einem guten Einstiegsbeispiel, das verschiedene Bereiche eines Schulkurses in Stochastik abdecken kann, stellt sich immer wieder. Wir greifen in diesem Beitrag eine Zeitungsmeldung (Material 1 ) auf, die auf einem wissenschaftlichen Artikel (Original-Auszug s. Material 2 ) basiert. Die Meldung ist geeignet, grundlegende stochastische Ideen zu vermitteln und dabei gleichzeitig journalistische In-formationen bzw. wissenschaftliche Studien mit mathematischen Mitteln kritisch zu hinterfragen.
Je nach Intention kann der Zeitungsartikel für folgende Themengebiete als Einstieg dienen: Lagemaße, Simulationen als Hinführung zum Testen von Hypothesen, Konfidenzintervalle.
Lesen des Zeitungsartikels
Die ersten Aufgaben auf Arbeitsblatt 1 fordern die Schülerinnen und Schüler auf, sich mit den beiden Artikeln inhaltlich auseinanderzusetzen. Ergebnis: An der Studie nahmen insgesamt 259 Personen teil, die durch ein zufälliges Verfahren ausgewählt wurden. Die Mittelwerte der Augensumme (μ = 3,5) weichen in beiden Gruppen nach oben ab, bei den Westdeutschen um 5% (μw = 3,675) und bei den Ostdeutschen um 10% (μ0 = 3,85). Die Autoren schlussfolgern daraus, dass die Ostdeutschen doppelt so häufig mogeln wie die Westdeutschen: Dieses Maß ist die sogenannte Effektstärke, die den relativen Unterschied zwischen beiden Gruppen angibt. Hauptindikator ist dabei der familiäre Hintergrund.
Was man nur aus dem wissenschaftlichen Artikel (Material 2) entnehmen kann, sind die Anzahl der Personen mit eindeutigem familiären Hintergrund (90 Ostdeutsche und 98 Westdeutsche), das Streuungsmaß und weitere Daten, die dort in Tabelle 1 aufgeführt sind.
Simulation
Um zu untersuchen, ob dieses Ergebnis durchaus einer Zufallsstreuung zuzuschreiben ist oder aber ob die Abweichung so stark ist, dass man auf Unterschiede schließen kann, erscheint es sinnvoll, zunächst eine Simulation durchzuführen. Aufgabe 3 auf Arbeitsblatt 1 fordert dazu auf, die Würfelprobe als Zufallsexperiment mit einem digitalen Werkzeug zu simulieren. Mit dem TI-Nspire kann man in einem ersten Zugang mehrere Male den 40-fachen Würfelwurf durchführen und das arithmetische Mittel bestimmen. Der Mittelwert kann zufallsbedingt über oder unter 3,5 liegen und sogar über dem „10%-Bereich, wie in Abb. 1 zu erkennen ist. In Spalte A wird der 40-fache Würfelwurf simuliert und in Zelle C1 das arithmetisches Mittel von Spalte A berechnet, auf zwei Dezimalen gerundet (=round(mean(a[]),2).
Es wird nun geprüft, wie oft der Mittelwert über 3,675 bzw. 3,85 lag. Zwei mögliche Simulationsergebnisse zeigen die Screenshots (Abb. 2 ) für jeweils N = 1000 Personen. In ca. 30% der Fälle ist der Mittelwert mindestens 3,675 groß und in ungefähr 10% der Fälle mindestens 3,85 groß.
Es kann also durchaus sein, dass die konkrete Stichprobe völlig zufällig solche Mittelwerte ergab, wenn man unterstellt, dass die Bezugsgröße die Teilnehmer (subjects) sind. Die relativen Häufigkeiten sind nicht sehr klein, unterscheiden sich aber deutlich etwa im Verhältnis 1:3. Schaut man aber auf die simulierte Häufigkeitsverteilung und lässt sich die zugehörige Statistik anzeigen, dann fällt auf, dass die Standardabweichung $$\overset{\_ }{s}\mathrm{= 0,261236}$$deutlich von der theoretisch zu erwartenden abweicht (Abb. 3 ). Wie verträgt sich dieses Ergebnis mit den Angaben aus der Tabelle 1 (Material 2)? Da die theoretische Standardabweichung für die Augenzahl beim einfachen Würfelwurf ca. 1,71 beträgt, beziehen sich die Angaben in Spalte 3 und 4 auf alle Würfe (Spalte 6), hier wird demgegenüber die Standardabweichung bezogen auf das arithmetische Mittel angegeben.
Verschiedene weitere Wege sind in einem Unterricht der Sek. II umsetzbar. Bei den Betrachtungen ist jeweils entscheidend, welcher Stichprobenumfang zugrunde gelegt wird die Teilnehmerzahl (N = subjects) oder die...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 194 / 2016

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