Heinz Klaus Strick

Descartes und die Nullstellen

Funktionen, Vorzeichen, Kurvendiskussion, Analysis
Descartes - und die Vorzeichenregeln für Polynome, Grafik: Friedrich Verlag

Heinz Klaus Strick

Ganz einfach die Vorzeichenregel für Polynome

Eines der ersten Mathethemen der gymnasialen Oberstufe ist die Untersuchung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen f, also:
f(x)=an·xn+an−1·xn−1+ … +a2·x2+a1·x1 +a0 mit an, an−1, , a2, a1, a0ℤ. Meist beschränkt man sich dabei auf Funktionen maximal vierten Grades.
Aus dem globalen Verlauf der Graphen, insbesondere dem Verhalten für x+∞ bzw. x – ∞, und der Stetigkeit lässt sich bezüglich der Anzahl der Nullstellen erschließen:
  • Ganzrationale Funktionen ungeraden Grades besitzen mindestens eine Nullstelle.Falls man zwei Nullstellen kennt, dann gibt es mindestens eine weitere Nullstelle, also mindestens drei Nullstellen;falls man vier Nullstellen kennt, dann gibt es mindestens eine weitere Nullstelle, also mindestens fünf Nullstellen; usw.
  • Ganzrationale Funktionen geraden Grades besitzen entweder keine Nullstelle oder, falls man eine Nullstelle kennt, dann gibt es mindestens eine weitere Nullstelle, also mindestens zwei Nullstellen; usw.
Also:
  • Ganzrationale Funktionen ungeraden Grades n besitzen eine ungerade Anzahl von Nullstellen (1, 3, 5, n),
  • Ganzrationale Funktionen geraden Grades n besitzen eine gerade Anzahl von Nullstellen (0, 2, 4, n).
Achtung: Bei der Zählung der Nullstellen wird auch deren Vielfachheit berücksichtigt!
Descartes Vorzeichenregel
Das Erstaunliche der im Folgenden behandelten Regel ist: Man kann eine Aussage über die Maximalzahl der positiven bzw. der negativen Nullstellen machen und zwar direkt aus den Vorzeichen der Polynomkoeffizienten, ganz ohne Linearfaktorzerlegung und ohne den Graphen zu zeichnen (Strick 2020, S. 169 ff.). Der Fall einer Nullstelle bei x = 0 ist ohnehin einfach: Man kann den Faktor x entsprechend ausklammern und dann das Restpolynom betrachten.
Im Jahr 1637 veröffentlichte der französische Mathematiker und Philosoph René Descartes (1596 –1650) seine berühmte Schrift Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences (Abhandlung über die Methode, seine Vernunft gut zu gebrauchen und die Wahrheit in den Wissenschaften zu suchen). Diese Schrift leitete eine neue Epoche der Philosophie und der Naturwissenschaften ein (Arbeitsblatt 1 ), die Briefmarke aus dem Jahr 1937 erinnert daran (Abb. 1 ).
Descartes Abhandlung umfasst auch drei Anhänge, durch die er die Wirksamkeit seiner Methode unter Beweis stellen wollte. Der dritte Anhang mit dem Titel La Géométrie enthält unter anderem die bemerkenswerte Regel über die Anzahl der positiven beziehungsweise der negativen Nullstellen von Polynomen.
  • Die Anzahl der positiven Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ist genauso groß wie die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge der Koeffizienten von f(x) oder um eine gerade Anzahl geringer.
  • Die Anzahl der negativen Nullstellen ergibt sich entsprechend aus dem Term für f(x).
Und diese Einsichten, wie sie etwa den damaligen (unvollständigen) Beweisansätzen von Descartes entsprechen, lassen sich durchaus im Rahmen des Unterrichts gewinnen.
Im Unterricht
Bei der ersten Unterrichtsvariante folgen wir den Überlegungen von Descartes: Wir untersuchen, wie sich die Funktionsterme verändern, wenn man systematisch Lage und Anzahl der Nullstellen verändert (Arbeitsblatt 2 ).
Hier steht das Entdecken im Fokus deshalb kann das notwendige Umformen der Funktionsterme auch mit GeoGebra oder CAS-Rechnern verkürzt werden. Alternativ kann man das Ausmultiplizieren der Produkte von Linearfaktoren an verschiedene Lerngruppen verteilen und anschließend die Ergebnisse zusammentragen. Eine weitere Möglichkeit, das meist fehleranfällige Ausmultiplizieren an dieser Stelle zu üben, ohne Unterrichtszeit in Anspruch zu nehmen, wäre die Auslagerung der Aufgaben 1 und 2 in eine vorbereitende Hausaufgabe. So können alle im eigenen Tempo vorarbeiten, und der Fokus im Unterricht liegt auf dem...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 222 / 2020

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Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 10-12