Corona: Modelle und Simulationen

Im Zuge der aktuellen Corona-Krise gibt es unterschiedlichste Berechnungen in den Medien. Manche eignen sich auch für den Unterricht, andere zum besseren Verständnis der Situation. Manche sind ein wenig amüsant und leicht selbst zu modellieren (etwa Wie lange reicht der WC-Papier Vorrat?), andere erfordern ein tieferes Hineindenken in die unterschiedlichen Größen und Ansätze.

Corona Simulation: Punkte und Diagramme veranschaulichen die Ansteckung bei Corona
Friedrich Verlag

Selten war die Mathematik so präsent in den Medien wie derzeit. Fast immer geht es dabei um die Ausbreitung der Corona-Pandemie; Berechnungen zu den langfristigen Folgen für das Gesundheitssystem, die wirtschaftliche Lage und die allgemeine Entwicklung der Lebensverhältnisse bzw. Erklärungen zu Abwägungen hinsichtlich der getroffenen Maßnahmen tauchen noch wengi auf - so auch hier. Grafiken versuchen, exponentielles Wachstum begreifbar zu machen. Gerade ein schlichtes Experiment kann beeindrucken: Lassen Sie einen Funktionenplotter f(x) = 1,104 x darstellen - das Ergebnis ist auf den ersten Blick unspektakulär. Erst ein Zoom zeigt, wie aus dem langen, langsamen Anstieg plötzlich das rasante Wachstum ausbricht. Wenn Sie parallel dazu g(x) = 1 218 · 1,104 x darstellen lassen, zeigt sich - überraschend ? - ein nach links verschobener Graph.

Corona Simulation: Zur Datenlage

Das selbstständige Erstellen von Modellrechnungen und Simulationen vertieft das Verständnis für die Zusammenhänge und zeigt, wie wichtig und zugleich doch zugänglich das Werkzeug "Mathematik" ist. Was neben einem Rechner zum Umgang mit den großen Zahlen und zur grafischen Darstellung ebenfalls erforderlich ist, sind verlässliche Daten. Dazu haben wir folgende Quellen zusammengestellt: 

Wichtige Größen

  • Reproduktionszahl oder Basisreproduktionsrate: Diese Zahl gibt an, wie viele Personen ein infizierter Mensch durchschnittlich ansteckt (untere Schätzung: 2).  
  • Inkubationszeit: Anzahl der Tage zwischen Ansteckung und Auftregen der Erkrankung (Spannweite 1 – 14 Tage, im Mittel 5 Tage).
  • Dauer der Infektiosität: Die Anzahl der Tage, in denen eine Person ansteckend ist (Beginn und Dauer sind teilweise bekannt: 1 – 2 Tage vor Erkrankungsbeginn bis etwa 8 Tage nach Erkrankungsbeginn).
  • Letalitätsrate: Anteil der Erkrankten, die daran sterben (untere Schätzung: 0,56 %, zur genaueren Bestimmung müsste man die "Dunkelziffer" kennen).

Die genannten Daten stammen aus: an der Heiden M, Buchholz U: Modellierung von Beispielszenarien der SARS-CoV-2-Epidemie 2020 in Deutschland. | DOI 10.25646/6571.2

Zeitschrift
mathematik lehren Nr. 174/2012 Simulieren: Mit Modellen experimentieren

Wir verstehen Simulieren als ein "Experimentieren mit Modellen". Damit können im Mathematikunterricht unterschiedliche Lernziele verbunden sein – Simulationen als ein heuristisches Mittel zu kennen, mit ihnen umzugehen, selbst Simulationen zu erstellen und zu nutzen.

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Anschauliche Simulationen

Das Projekt „Lieber auf Abstand“ von BR Data simuliert anhand von sich bewegenden 300 Punkten, wie sich die Ansteckung mit und ohne soziale Distanzierung vollzieht. Zu Beginn sind - bis auf einen Punkt - alle Punkte grau und stehen für suszeptible Personen, d.h. für Gesunde, die noch infiziert werden können (weil keine Immunität vorliegt). Die Simulation zeigt die Bewegung, die Ansteckung und unten in einer Grafik den jeweiligen Stand der suszeptiblen, der infizierten und der immunen Pesonen.

Einen umfassenden Covid-Simulator hat Martin Eichner, ein Epidemiologe aus Tübingen, gemeinsam mit Stefan Brockmann und Markus Schwehm erstellt. Parameter können interaktiv verändert werden. Besonders interessant ist der Einfluss verschiedener Maßnahmen - und deren gut gewählte Zeitpunkte. 

In einer etwas einfacheren Simulation untersucht der österreichische Statistiker Erich Neuwirth Wie sich eine Epidemie ausbreitet. Er stellt neben den mathematischen Formeln dazu ein Excel-Datenblatt mit seiner Simulation bereit.

Das Robert Koch Institut hat am 20.3. die Modellierung von Beispielszenarien der SARS-CoV-2-Epidemie 2020 in Deutschland veröffentlicht. Die Grafik auf S. 4 zeigt die grundlegenden Annahmen (mit Prozentangaben) zu den Krankheitsverläufen.

Übrigens: Das Bundesamt für Bevölkerungsschutz und  Katastrophenhilfe hatte in seinem Bericht zur Risikoanalyse im Bevölkerungsschutz 2012 ab Seite 55 die Er­geb­nisse der Ri­si­ko­ana­ly­se „Pan­de­mie durch Vi­rus Mo­di-SARS“ (dies ist ein fiktives Virus) veröffentlicht; die Risikoanalyse wurde aufgrund eines wissenschaftlichen Planspiels entwickelt.

Auf Twitter beschäftigt sich Herr Naumann mit der Analyse der Fallzahlentwicklung bei Corona.

Erklärvideos zu dem Thema gibt es ebenfalls, etwa Schätzung der Dunkelziffer (Kahn Academy).

Kurven abflachen oder in Wellen?

Die Pandemie breitet sich aus - und es ist ein Wettlauf mit der Zeit, ein Wettlauf der Gesundheitssysteme, um Erkrankte angemessen zu versorgen, um einen Antikörpertest, einen Impfstoff, griffige Medikamente zu entwickeln. Die aktuellen Maßnahmen zielen auf "flatten the curve" ab. Wird die Ausbreitung dagegen extrem stark unterdrückt, schiebt man die hohe Welle vor sich her, die sich einstellt, wenn die Maßnahmen komplett aufgehoben werden. Eine andere Variante ist ein behutsames Lockern und Wiederanziehen der Maßnahmen, die die Anzahl der behandlungsbedürftigen Covid-19-Patienten so reguliert, dass das Gesundheitssystem nicht überlastet wird. Diese verschiedenen Modelle hat Quarks hier dargestellt.

Zur Mathematik

Unter dem Titel "Die Wucht der großen Zahl" erklärte die Süddeutsche Zeitung am 11.3. sehr anschaulich, was exponentielles Wachstum bedeutet. Sie stellte eine Prognose der Infektionen auf:

  • 10. März        1 218
  • 24. März        4 872
  • 07. April      19 499
  • 21. April      77 952
  • 05. Mai      311 808
  • 19. Mai   1 247 292

Nach dieser Prognose würde sich die Zahl der Infizierten alle 14 Tage vervierfachen. Klaus Schlüter, der mit seiner Klasse gerade in das Thema Exponentialfunktionen einsteigt, hat dazu die Lernenden den Funktionsterm hinter diesen Zahlen ermitteln lassen: Ausgehend von N(t) = N0 ∙ 4t/14 ergibt sich mit 4t/14 = 41/14 ∙ t = (41/14)t und 41/14 = 14√4 ≈ 1,104  dann als Modell:

N(t) = N0 ∙ 1,104 t

Dem Wachstumsfaktor von q = 1,104 entspricht eine Wachstumsrate von p = 10,4 %.
Damit ist N(t) = N0 ∙ (1 + p)t und N(t + 1) = N0 ∙ (1 + p)t+1 = N0 ∙ (1 + p)t ∙ (1 + p)1 = N(t) ∙ (1 + p) = N(t) + N(t) ∙ p .
Der Zuwachs an N (also die Anzahl der Neuinfektionen) von einem Tag zum nächsten ist damit N(t + 1) – N(t) = N(t) ∙ p.

Die Verdopplungsdauer, also die Zeit, bis sich die Anzahl der Infizierten verdoppelt hat, kann mithilfe des Logarithmus bestimmt werden: 2 ∙ N0 = N0qt  ⇔ 2 = qt ⇔ ln(2) = ln (q t) ⇔ ln(2) = t ∙ln (q) ⇔ t = ln(2) : ln (q) ≈ 0,69 : ln (q).

Zum Weiterlesen

Im Beitrag Vorsicht ansteckend! wird eine Simulation auf Basis der Rekursionsformel Nt+1 = Nt · q langsam erarbeitet. Sind am Tag t folgende Größen bekannt: G(t) = Gesunde, K(t) = Kranke, T(t) = Tote, dann erhält man mit den Parametern a = Gesundungsrate, b = Übertragungsrate, c = Sterberate die Rekusionsformeln

G(t + 1) = G(t) + a · K(t) - b · G(t) · K(t)

K(t + 1) = K(t) - a · K(t) + b · G(t) · K(t) - c · K(t)

T(t + 1) = T(t) + c · K(t)

Den Term für die Übertragung erhält man aus der Überlegung, wie vielen unterschiedlichen Kranken ein gesunder Mensch in einem Zeitabschnitt (Tag) begegnen kann - das sind maximal K(t). Insgesamt kann es also höchstens G(t) · K(t) unterschiedliche solcher Begegnungen geben. Mithilfe dieser Formeln könnten auch Schülerinnen und Schüler entsprechende Simulationen (z. B. mit in einer Tabellenkalkulation) durchführen.

Zum Weiterlesen: Statistik

Der aktuelle Unstatistik des Monats beschäftigt sich mit  Corona-Pandemie – Statistische Konzepte und ihre Grenzen.

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