Corona: Modellbildung mit GeoGebra

Wie zuverlässig medizinische Tests sind, ist ein klassisches Thema bei bedingten Wahrscheinlichkeiten. Mit einem Modellrechner in GeoGebra lässt sich die Zuverlässigkeit von PCR-Tests modellieren. Zur Ausbreitung von Infektionen wird das SIR-Modell (susceptible-infected-removed) als einfaches Beispiel für die Modellierung von Infektionen vorgestellt.

Ein Modellrechner zur Qualität der PCR-Tests
Ein Modellrechner zur Qualität der PCR-Tests screenshot: geogebra.org

Zur Zuverlässigkeit von Covid-Tests

Es gibt einerseits Tests, die prüfen, ob eine akute Infektion vorliegt - und andererseits Antikörper-Tests, welche feststellen, ob jemand eine Infektion gehabt hatte. Die "Güte" eines Tests wird bekanntermaßen durch die Begriffe der Spezifität und Sensitivität beschrieben. Doch wie kann man die Wahrscheinlichkeit einschätzen, bei einem positiven Testergebnis tatsächlich infiziert zu sein (positiv prädikativer Wert PPW) oder nach einem negativen Testergebnis tatsächlich nicht infiziert zu sein (negativ prädikativer Wert NPW)?

Spezifität: Bei wieviel Prozent der Gesunden ist das Testergebnis 'negativ', d. h. erkennt der Test eine gesunde Person auch als gesund? Je spezifischer ein Test ist, desto genauer identifiziert er also Nicht-Infizierte. Ein Test mit einer Spezifität von 95 % liefert bei 95 von 100 gesunden Personen ein korrektes negatives Ergebnis, 5 Gesunde erhalten ein falsch-positives Ergebnis - und müssten ungerechtfertigt in Quarantäne.

Sensitivität: Bei wie viel Prozent der Infizierten ist das Testergebnis 'positiv', d.h.erkennt der Test die Infektion auch wirklich? Je sensitiver ein Test ist, desto genauer identifiziert er erkrankte Personen als positiv. Ein Test mit einer Sensitivität von 98 % erkennt 98 von 100 Infektionen und gibt 2 Personen ein falsch-negatives Ergebnis. Diese wären dann unerkannt infektiös unterwegs und können andere anstecken.

Wichtig ist jedoch: Je höher die Wahrscheinlichkeit für eine tatsächliche Infektion einer Person ist, desto höher ist die Aussagekraft eines positiven Tests. Ist Ansteckungsrisiko hoch (ewta weil das Virus stark verbreitet ist) dann steigt die Anzahl der Personen mit einem falsch-negativen Testergebnis. Es gibt also mehr unentdeckte Infizierte. Ist das Ansteckungsrisiko gering (und das Virus wenig verbreitet), dann steigt die Anzahl der Personen mit einem falsch-postivien Testergebnis.  (Quelle: https://www.quarks.de/gesundheit/medizin/corona-test-wie-funktioniert-der-test/)

Hans-Jürgen Elschenbroich hat einen GeoGebra-Modellrechner (hier) erstellt, mit dem man die Parameter der Spezifität und Sensitivität für PCR-Tests systematisch verändern kann. Die Auswirkungen sind im Modell direkt erfahrbar.

Eine GeoGebra-Simulation eines einfachen Modells zur Beschreibung der Ausbreitung ansteckender Krankheiten mit Imunitätsbildung.
Der GeoGebra-Kumulator unterstützt Beschreibung von Beständen und Änderungen. screenshot: GeoGebra.org

Das SIR-Modell (susceptible-infected-removed)

Bei der Ausbreitung von Epidemien geht es neben Verdopplungszeiten und Reproduktionszahlen um logistisches Wachstum als das eigentlich typische natürliche Wachstum. Das klassische SIR-Modell (susceptible-infected-removed) wird als einfaches Beispiel für die Modellierung von Infektionen samt zwei Varianten vorgestellt.

Hans-Jürgen Elschenbroich hat umfangreiche Informationen und GeoGebra-Dateien zum Thema Corona: Mathematik & Modellbildung entwickelt und auf der Materialseite von GeoGebra zur Verfügung gestellt. Es werden verschiedene, in Zeitschriften, Fernsehen und Internet  veröffentliche Modelle und ihre grafische Visualisierung betrachtet und auf ihre mathematische Stimmigkeit untersucht. So bekommen Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit, mathematische Modellierungen der Pandemie zu verstehen und ihre Grundannahmen kritisch zu reflektieren.

Welche Mathematik wird thematisiert? 

Im ersten Kapitel zur Exponenzialfunktion geht es um exponenzielles Wachstum & logarithmische Skalierung und die Verdopplung in NRW. Beim Rechnen mit Verdopplungen gibt es einen Verdopplungsrechner (hier) und mehrere Aufgaben, die in der Sekundarstufe 1 bearbeitet werden können. Das Logistische Wachstum - um ein solches handelt es sich in der Regel bei natürlichen Prozessen - kann über Schieberegler betrachtet werden. Und es können "Flatten the Curve"-Modelle einem Mathe-Check unterzogen werden: Mit Schiebereglern lassen sich Parameter einstellen und Kuven einzelnen, in den Medien präsentierten Corona-Wachstumsmodellen anpassen. Sind die Modelle plausibel?

Diese Unterrichtseinheiten könnten Sie auch interessieren

Modellieren mit dem KUMULATOR
Wie ein Virus die Mathematik in die Öffentlichkeit rückte
Funktionales Denken fördern

Alle Beiträge sind durch unser Angebot Friedrich+ Mathematik abrufbar.

SIR-Modelle und Varianten

Es gibt mehrere Modelle für die Modellierung von Infektionen. Das einfachste ist das seit fast 100 Jahren bekannte SIR- Modell:

  • S: susceptible (gesund und für Infektionen empfänglich)
  • I: infected (infiziert) 
  • R: removed (ausgeschieden also immun oder verstorben)

Beim feineren SIRD-Modell (Susceptible-Infected-Recovered-Deceased-Model) wird zwischen den Gesundeten (R: recovered) und den an der Infektion Verstorbenen (D: deceased) unterschieden.
Beim SEIR-Model (Susceptible-Exposed-Infectious-Recovered-Model) wird die Gruppe der Infizierten in zwei Gruppen unterteilt, die nacheinander durchlaufen werden; so bedeutet E: exposed (infiziert aber noch nicht ansteckend) und I: infectious (ansteckend, infektiös).

Die Modelle basieren auf dem Kumulator, einer einfachen GeoGebra-Lernumgebung zum Modellieren von Wachstumsvorgängen und dynamischen Systemen. Der Idee „Von der Änderung zu Bestand“ folgend, werden schrittweise die jeweiligen Änderungen aufsummiert und dadurch der jeweilige Bestand aufgebaut. 

Daten beim Covimeter

Eine gute Quelle, um auch im Unterricht mit lokalen Daten zu arbeiten, bietet die Seite https://covimeter.de/.

Zum Weiterlesen

Vorsicht ansteckend: Ein Simulationsspiel zur Ausbreitung von Epidemien
Corona: Modelle und Simulationen in den Medien

Fakten zum Artikel
Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 10-13