Corona: Modellbildung mit GeoGebra

Bei der Ausbreitung von Epidemien geht es neben Verdopplungszeiten und Reproduktionszahlen um logistisches Wachstum als das eigentlich typische natürliche Wachstum. Das klassische SIR-Modell (susceptible-infected-removed) wird als einfaches Beispiel für die Modellierung von Infektionen samt zwei Varianten vorgestellt.

Eine GeoGebra-Simulation eines einfachen Modells zur Beschreibung der Ausbreitung ansteckender Krankheiten mit Imunitätsbildung.
screenshot: GeoGebra.org

Hans-Jürgen Elschenbroich hat umfangreiche Informationen und GeoGebra-Dateien zum Thema Corona: Mathematik & Modellbildung entwickelt und auf der Materialseite von GeoGebra zur Verfügung gestellt. Es werden verschiedene, in Zeitschriften, Fernsehen und Internet  veröffentliche Modelle und ihre grafische Visualisierung betrachtet und auf ihre mathematische Stimmigkeit untersucht. So bekommen Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit, mathematische Modellierungen der Pandemie zu verstehen und ihre Grundannahmen kritisch zu reflektieren.

Welche Mathematik wird thematisiert? 

Im ersten Kapitel zur Exponenzialfunktion geht es um exponenzielles Wachstum & logarithmische Skalierung und die Verdopplung in NRW. Beim Rechnen mit Verdopplungen gibt es einen Verdopplungsrechner (hier) und mehrere Aufgaben, die in der Sekundarstufe 1 bearbeitet werden können. Das Logistische Wachstum - um ein solches handelt es sich in der Regel bei natürlichen Prozessen - kann über Schieberegler betrachtet werden. Und es können "Flatten the Curve"-Modelle einem Mathe-Check unterzogen werden: Mit Schiebereglern lassen sich Parameter einstellen und Kuven einzelnen, in den Medien präsentierten Corona-Wachstumsmodellen anpassen. Sind die Modelle plausibel?

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SIR-Modelle und Varianten

Es gibt mehrere Modelle für die Modellierung von Infektionen. Das einfachste ist das seit fast 100 Jahren bekannte SIR- Modell:

  • S: susceptible (gesund und für Infektionen empfänglich)
  • I: infected (infiziert) 
  • R: removed (ausgeschieden also immun oder verstorben)

Beim feineren SIRD-Modell (Susceptible-Infected-Recovered-Deceased-Model) wird zwischen den Gesundeten (R: recovered) und den an der Infektion Verstorbenen (D: deceased) unterschieden.
Beim SEIR-Model (Susceptible-Exposed-Infectious-Recovered-Model) wird die Gruppe der Infizierten in zwei Gruppen unterteilt, die nacheinander durchlaufen werden; so bedeutet E: exposed (infiziert aber noch nicht ansteckend) und I: infectious (ansteckend, infektiös).

Die Modelle basieren auf dem Kumulator, einer einfachen GeoGebra-Lernumgebung zum Modellieren von Wachstumsvorgängen und dynamischen Systemen. Der Idee „Von der Änderung zu Bestand“ folgend, werden schrittweise die jeweiligen Änderungen aufsummiert und dadurch der jeweilige Bestand aufgebaut. 

Daten beim Covimeter

Eine gute Quelle, um auch im Unterricht mit lokalen Daten zu arbeiten, bietet die Seite https://covimeter.de/.

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