Risiken begegnen

Risiken begegnen

Mathematik lehren | Ausgabe Nr. 220/2020

Sind Sie eher risikofreudig oder risikoscheu? Wie wirken statistische Aussagen auf uns? Es gibt verschiedene Sichtweisen auf das „Risiko“, das sich letztlich als Wahrscheinlichkeit, als Wert einer Zufallsgröße oder als Erwartungswert beschreiben lässt.

Inhaltsverzeichnis
Risiko
Friedrich+ Kennzeichnung Methode & Didaktik Schuljahr 5-13

Risiko ist ein schillernder Begriff, der im Alltag viele Facetten besitzt. Im Mathematikunterricht bezeichnet er die Wahrscheinlichkeit eines negativ bewerteten Ereignisses. Beim Risikomanagement versucht man, Entscheidungsstrategien unter Unsicherheit so zu gestalten, dass negativ bewertete Wahrscheinlichkeiten klein bleiben und der erwartete Gewinn maximal wird. Die Begriffe und das prinzipielle Vorgehen werden an unterrichtspraktischen Beispielen entwickelt.

Foto: C. Till
Es geht um Schokoriegel - welches Angebot würden Sie wählen?
Gehst du gern ein Risiko ein?
Friedrich+ Kennzeichnung Fachwissen Schuljahr 5-7

Schülerinnen und Schüler lernen spielerisch den Erwartungswert kennen, indem sie anhand von Zufallsexperimenten folgendes Entscheidungsproblem simulieren: „Sollte man langfristig lieber auf einen niedrigen, aber dafür sicheren Gewinn setzen oder doch eher auf einen hohen, aber dafür unsicherer Gewinn?“

Psychologische Aspekte wie Risikobereitschaft und Risikovermeidung können das Treffen von Entscheidungen unter Unsicherheit beeinflussen und gleichzeitig den Unterricht bereichern.

Grafik: K. Binder
Ein 10x10-Feld als Grundlage für ein Bildgitter - so werden Anteile und Wahrscheinlichkeiten gut erfasst
Wie absolute und relative Veränderungen von Risiken mit Bildgittern unterrichtet werden können Risikoveränderungen
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (< 45 Min) Schuljahr 6-10

Risiken, die als Prozent angegeben werden, sind oft mit Fehlvorstellungen verbunden. Besonders kompliziert wird es, wenn es nicht mehr um die Risiken selbst geht, sondern Risikoveränderungen prozentual ausgedrückt werden. Wir stellen vor, wie man relative und absolute Risikoveränderungen mithilfe von Bildgittern transparent darstellen kann. Schülerinnen und Schüler nutzen in drei Aufgabenkontexten Bildgitter, um Risikoveränderungen besser zu verstehen.

Foto: N. Noster, S. Günster; Spielmaterial © Nürnberger Spielkarten Verlag
Ein Würfelspiel motiviert mathematische Überlegungen zu Risiken
Qwixx: Nehmen oder nicht?
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 7-9

Um Entscheidungen bewusst treffen zu können, müssen Chancen und Risiken abgewogen werden. Gesellschaftsspielen bieten die Möglichkeit erste Erfahrungen hierzu zu sammeln. Jede Entscheidung kann – insbesondere, wenn der Zufall involviert ist – die Chance auf den Sieg erhöhen oder aber auch senken und birgt daher ein gewisses Risiko. Auf der Suche nach geeigneten Spielstrategien soll das Würfelspiel Qwixx mit Blick auf Wahrscheinlichkeiten untersucht und mögliche Strategien anhand simulierter Spielpartien verglichen werden.

Foto: © Milton Oswald/stock.adobe.com
Wie können Krankenkassen möglichst gerecht finanziert werden? Alle sollen – unabhängig von ihrem Gesundheitszustand – versichert werden.
Morbiditätsorientierter Risikostrukturausgleich in der gesetzlichen Krankenkasse Wie versichert man fair?
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 8-13

Der morbiditätsorientierte Risikostrukturausgleich („Morbi-RSA“) ist ein wichtiger Ausgleichsmechanismus im sozialen Krankenversicherungssystemen, der die finanziellen Pauschalzuweisungen der Krankenkassen für ihre Versicherten bestimmt und eine Risikoselektion innerhalb der gesetzlichen Krankenkassen vermeidet.  Innerhalb eine Doppelstunde lernen Schülerinnen und Schüler ein normatives, komplexes Modell kennen, mit dem ohne Nachteil für einzelne Menschen faire Chancen im Wettbewerb um Versicherte ermöglicht werden sollen.

Foto: © farbenwunder/stock.adobe.com
Die Katze im Sack kaufen?
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 10-13

Ausgehend von einer typischen Verkaufssituation werden Lernende in die Lage versetzt, risikobehaftete Entscheidungen treffen zu müssen. In einem konkret durchgeführten Unterrichtsexperiment geht es darum, die mit dieser Situation verbundenen Risiken intuitiv einzuschätzen, zu bewerten und entsprechende Entscheidungen zu treffen. Die Erfahrungen aus dem Experiment führen über Situationsanalysen und Reflexion zur Verbindung mit theoretischen Konzepten (Nash-Konzept, Minimax-Konzept) der Spieltheorie

Grafik: Friedrich Verlag
Wenn rot-weiß-weiß-rot-weiß-weiß-rot-weiß-rot-rot-weiß gezogen wurde - welche Socke war wohl die Urne? Und wie sicher kann ich das sagen?
Signifikanztests und das Risiko falscher Entscheidungen Auf der Suche nach H0
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 12-13

Bei einseitigen Signifikanztest bereitet die Suche nach der Nullhypothese große Probleme, weil selten thematisiert wird, was die Nullhypothese H0 von der Alternative H1 unterscheidet. Ein Entscheidungsspiel mit expliziter Bewertung von Fehlentscheidungen gestattet, den Zusammenhängen auf den Grund zu gehen und Hintergründe bei einseitigen Hypothesentests selbstständig und handlungsorientiert zu entdecken. Dabei impft der Bayessche Rahmen lernpsychologisch effektiv gegen verbreitete Fehlvorstellungen beim Interpretieren der Ergebnisse von Signifikanztests.

Grafik: Friedrich Verlag
Welchen "Klima-Impact" hat ein Baby und seine möglichen Nachkommen? Die Grafik hilft, den Begriff "lebende genetische Einheiten" zu verstehen
Studien nachvollziehen und Meldungen einordnen Ein Baby als Klima-Risiko?
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 10-13

Ein Post in einer Facebook-Gruppe ist Anlass, die Hintergründe der Behauptung „Eltern sind die schlimmsten Klima-Sünder“ zu recherchieren, das mathematische Vorgehen zu untersuchen und damit der Frage nachzugehen: Sind das Fake News? Die ersten Schritte können in der Schule gut nachvollzogen werden. Eine intensive Auseinandersetzung kann nur in einem projektorientierten Unterricht geschehen oder zum Beispiel im Rahmen einer Facharbeit.

Grafik: C. Münchenbach
Wo steckt exponenzielles Wachstum hinder der Grafik?
Wie ein Virus die Mathematik in die Öffentlichkeit rückte
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 10-13

Die Corona-Krise ist sehr facettenreich. Und selten war die Mathematik in der Öffentlichkeit so präsent: Statistik, Stochastik, Exponentialfunktionen, Wachstumsmodelle, halb-logarithmische Skalierungen, Raten und absolute Zahlen …. In der Krise wurde deutlich, wie schwer es fällt, exponentielles Wachstum wirklich zu erfassen. Der Beitrg zeigt einige Möglichkeiten für die Behandlung mathematischer Fragen im Unterricht auf. Besonders die Skalierung in Diagrammen wird thematisiert.

Grafik: Friedrich Verlag
Finanzierung der gesetzlichen Krankenkassen über den Risikostrukturausgleich
Risikostrukturausgleich - was ist das? MatheWelt
Friedrich+ Kennzeichnung Schuljahr 8-13

Das Spiel dieser MatheWelt ist einfach und leicht verständlich aufgebaut (Zeitbedarf: 1 Doppelstunde). Es vermittelt die Grundideen des Risikomanagements bei gesetzlichen Krankenkassen. Mathematische Voraussetzungen sind Bruch- und Prozentrechnung.

Mit dem Spiel werden die Schülerinnen und Schüler an das Thema gesetzliche Krankenkasse und deren Risikostrukturausgleich herangeführt und zum Nachdenken über das gesellschaftlich relevante Thema angeregt. Wie verhindert der „Morbi-RSA“ Risikoselektionen innerhalb des Systems der gesetzlichen Krankenversicherung und ermöglicht zugleich faire Chancen zwischen den einzelnen Kassen im Wettbewerb um Versicherte? Ganz nebenbei festigen die Lernenden Aspekte der Prozent- und Bruchrechnung, und beim Schätzen, Addieren und Subtrahieren trainieren sie ihr Zahlgefühl. Vor oder nach dem Spiel empfiehlt sich ein Brainstorming: Wie würdet ihr eine gute Krankenversicherung aufbauen? Leitfragen dazu könnten sein: Welche Ziele sollte eine Krankenversicherung verfolgen? Wie kann verhindert werden, dass Krankenkassen nicht nur gesunde Personen versichern? Welche Maßnahmen können helfen, einen guten Gesundheitszustand zu erhalten?

Fragen, die sich im Spiel ergeben, werden im weiteren Unterrichtsgespräch vertieft und – soweit möglich – beantwortet. Sie könnten auch Anlass bieten für eine fachübergreifende Exkursion, ein kleines Projekt oder einen erweiternden Vortrag.