Den Zufall erfassen

Den Zufall erfassen

Mathematik lehren | Ausgabe Nr. 213/2019

Der Umgang mit Unsicherheit ist ein mathematischer Inhalt, dem Lernende im Alltag häufig begegnen. Trotzdem kommt die Leitidee „Daten und Zufall“ im Unterricht oft zu kurz. Entdecken Sie, wie Sie mit Lernenden mittels Experimenten und Simulationen zu Entscheidungen für gängige Situationen gelangen.

Inhaltsverzeichnis
Foto: Pixabay/ejaugsburg
Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert, Variabilität Zufallsphänomene erfassen
Friedrich+ Kennzeichnung Methode & Didaktik Schuljahr 1-13

Die Begriffe Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Variabilität können zentral für einen verständnisorientierten Stochastikunterricht sein. Bei wiederholter Durchführung eines Zufallsexperimentes werden Wahrscheinlichkeiten durch den Erwartungswert erfahrbar gemacht, der absolute Häufigkeiten angibt und deshalb besonders anschaulich ist. Die Thematisierung der Variabilität verdeutlicht, dass „zufällig“ nicht „beliebig“ bedeutet.

Anteilswerte und bedingte Wahrscheinlichkeiten vorteilhaft visualisieren Der Häufigkeitsdoppelbaum
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 5-13

Ein Fehlverständnis bedingter Wahrscheinlichkeiten führt bei Schülerinnen und Schülern immer wieder zu Problemen. Aber auch in realen Kontexten wie der Medizin kommt es dabei wiederholt zu fatalen Fehlurteilen. Im Beitrag wird gezeigt, wie Anteilswerte und bedingte Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Häufigkeitsdoppelbäumen besonders vorteilhaft visualisiert werden können – von der Unterstufe bis zum Abitur.

Foto: Pixabay/ejaugsburg
Galilei reloaded: Ein Problem, viele Zugänge Würfelsummen mit Überraschung
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 7-13

Das Würfelspiel als eines der ältesten Glücksspiele bietet Anlass für kombinatorische Überlegungen zur Würfelsumme. Der Artikel zeigt, wie man im Laufe der Schulzeit immer wieder neu auf dieses historisch motivierte Problem blicken kann: über die Simulation mittels Tabellenkalkulation, die Rekursionsformel, die Approximation durch die Normalverteilung bis schließlich zum Hypothesentest in der Oberstufe.

Argumentieren mit Wahrscheinlichkeiten ... weil es halt nicht sicher ist!
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 7-8

Wahrscheinlichkeiten lassen Raum zum Diskutieren und Argumentieren. Dabei geht es nicht nur um die Risikobereitschaft, sondern auch um Fragen wie: „Wie bist du auf diese Wahrscheinlichkeit gekommen?“, „Gibt es sinnvolle Alternativen zu dieser Wahrscheinlich­keit?“ Exemplarisch werden Fragen und Angebote zum Austausch von Argumenten dargestellt, mit denen eine angemessene Diskussionskultur in der Klasse etabliert werden kann.

Subjektive Wahrscheinlichkeiten quantifizieren?! Wahrscheinlich klappt´s
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 7-10

Persönliche Wahrscheinlichkeitseinschätzung über einmalige, nicht wiederholbare Ereignisse werden in der Alltagssprache häufig vorgenommen. Im Beitrag werden zunächst qualitative Aussagen („sicher“, „wahrscheinlich“, „möglicherweise“ usw.) thematisiert. Anschließend werden Ansätze vorgestellt, mithilfe von Wetten und Gewinnplänen, subjektive Wahrscheinlichkeiten zu quantifizieren.

Foto: Pixabay/ejaugsburg
Vernetzungen in der Stochastik Beschreibende Statistik mit eigenen Daten
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 10-13

Es werden Teile einer Unterrichtseinheit zur Beschreibenden Statistik in einer 11. Klasse vorgestellt. Im Zentrum steht hierbei der Weg zur empirischen Standardabweichung mit eigenen Daten (Messung der Handspanne), die als roter Faden für die Unterrichtseinheit dienen. Möglichkeiten einer Vernetzung mit den Sigma-Regeln aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden aufgezeigt.

Foto: Pixabay/Ulrike Leone
Mit Simulationen Zusammenhänge zugänglich machen Wurzel-n-Gesetz, Prognose- und Konfidenzintervall
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 10-13

Zwei Lücken sollten in den Schulbüchern geschlossen werden, eine in der Sek. I und eine in der Sek. II: Das Wurzel-n-Gesetz ist zur Beurteilung von vielen Daten hilfreich und deshalb allgemeinbildend. Es kann bereits in der Mittelstufe behandelt werden, wenn man Simulationen einsetzt. An den bekannten kumulierten Tabellen kann man Prognose- und Konfidenzintervalle ablesen, die zwei Seiten der gleichen Medaille sind.

Unnütz, Nepp und die Plastiktütenmüllfläche Die etwas andere Aufgabe
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (< 45 Min) Schuljahr 5-13

Die etwas andere Aufgabe stellt regelmäßig Fundstücke aus dem Alltag und besonders interessante Aufgaben für den Mathematikunterricht vor. In dieser Ausgabe geht es unter Anderem um vermeintliche Schnäppchen, nervige Internetwerbung und um Zahlenketten, die auf eine bestimmte Zahl enden. Außerdem wird die Frage erörtert, welche Fläche die Plastiktragetaschen, die in Deutschland in 2017 in Umlauf gebracht wurden, bedecken könnten.

Foto: Pixabay/ejaugsburg
Ein Crashkurs in 14 Aufgaben Alles Zufall oder was?
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 8-10

Diese MatheWelt lässt den Zufall in 14 Aufgaben entdecken – bis Aufgabe 10 können die Lernenden dabei völlig selbstständig arbeiten. Die Idee ist hier, auf die Wirkung der Zufallsphänomene und die Interaktionen in der Lerngruppe zu vertrauen. Es wird mit dem leichter zugänglichen Ansatz nach Laplace begonnen. Um Fehlvorstellungen zu begegnen, werden von vornherein Aspekte der Variabilität und der Nicht-Anwendbarkeit des laplaceschen Ansatzes einbezogen.