Codieren & Verschlüsseln

Codieren & Verschlüsseln

Mathematik lehren | Ausgabe Nr. 219/2020

Codierung und Kryptologie sind aus unserem Alltag nicht mehr wegzudenken. Wir kommen stets – oft unbemerkt – mit Codes und Formen der Verschlüsselung in Berührung. Im Mathematikunterricht können solche Berührpunkte sinnstiftend aufgegriffen werden, um die Umwelt über die Mathematik zu erschließen. Das Potenzial von Codierung und Kryptologie für den Mathematikunterricht wird durch praxisnahe Beispiele beleuchtet. In praxiserprobten Ansätzen werden Aspekte der Zahlentheorie, der Kombinatorik, der Statistik und der Funktionenlehre aufgegriffen.

Inhaltsverzeichnis
© Friedrich Verlag
Codieren im Mathematikunterricht Verschlüsselung, Fehlerbeseitigung & Kompression
Friedrich+ Kennzeichnung Methode & Didaktik Schuljahr 5-13

Formen der Codierung und Verschlüsselung begegnen Lernenden in alltäglichen Situationen. Dabei bieten die jeweiligen Verschlüsselungsverfahren sowie Versuche der Entschlüsselung zahlreiche Anlässe, Mathematik zu betreiben. Im Beitrag werden Codierungen und Kryptologie zunächst theoretisch eingeordnet, um sie dann aus einer historischen Perspektive zu betrachten. Zudem wird das Potenzial dieser Themen aus den Bereichen des Mathematikunterrichts beleuchtet.

© Friedrich Verlag
Caesar, Vigenère, One-Time-Pad Unverständlich, sinnlos, zufällig?
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 5-6

Es gibt Verschlüsselungsverfahren, die für Menschen, und erst recht für Computer relativ leicht zu knacken sind, auch wenn man es den verschlüsselten Botschaften nicht unmittelbar ansieht. Es gibt aber auch Verfahren, die unknackbar sind, also für Mensch und Maschine nicht zu entschlüsseln. Der Artikel beleuchtet die geschichtlichen Hintergründe der ersten Verschlüsselungsverfahren und gibt einen ersten Einblick in unknackbare Codes.

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Die GTIN an verschiedenen Stellen im Unterricht Was macht der Zebrastreifen auf der Verpackung?
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 5-7

Die GTIN taucht in vielen Alltagsbereichen auf und bietet sich zum Einsatz im kompetenzorientierten Mathematikunterricht an. Zunächst wird der Aufbau einer GTIN erklärt und insbesondere der Nutzen der Prüfziffer in der GTIN herausgestellt. Anschließend wird deutlich gemacht, wie der zu einer GTIN gehörige Strichcode erstellt wird. In beiden Bereichen können Möglichkeiten aufgezeigt werden, um mit den Lernenden die zugrundeliegende Mathematik zu erkunden.

© vectorfusionart/stock.adobe.com
Schlüsselvereinbarung ohne Schlüsselübergabe Pssst …
Friedrich+ Kennzeichnung Schuljahr 9-13

Das Schlüsselaustauschverfahren nach Diffie-Hellman erlaubt zwei Kommunikationspartnern den Austausch eines gemeinsamen Geheimnisses bei öffentlicher Kommunikation. Öffentlich bedeutet, dass eine dritte Person die gesamte Kommunikation belauscht. Dank der bei diesem Verfahren verwendeten Mathematik ist die dritte Person nicht in der Lage, das gemeinsame Geheimnis zur lüften. Diesem Verfahren liegen die mathematische Restbildung und das Potenzieren zu Grunde.

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Interaktive Beweise mit Zero-Knowledge-Protokollen Aus Schwächen Stärken machen
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 11-13

Der Nachweis der eigenen Identität kann auf verschiedene Arten erfolgen: Durch Wissen, Besitz oder körperliche Merkmale. Passwörter fallen in die erste Kategorie, sind aber mit einigen Nachteilen verbunden, z.?B. der Notwendigkeit ihrer Übertragung. Die Authentifikation mithilfe von Zero-Knowledge-Protokollen erfordert ebenfalls Wissen, gelingt aber ohne dessen Austausch. Mit etwas zahlentheoretischem Grundwissen können Lernende entdecken, wie das funktioniert.

© Friedrich Verlag
Die Huffman-Codierung Mit Bäumen Daten reduzieren
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 9-13

Die Codierung von Daten spielt im täglichen Leben eine wichtige Rolle. Sei es bei der Verschlüsselung von Daten oder bei der Reduktion von Datenmengen. Dabei zeichnet sich das Huffman-Verfahren durch häufige Anwendung in der Praxis aus, nicht zuletzt bei der Komprimierung von Bildern ins JPEG-Format. Dieses Verfahren lässt sich grafisch verdeutlichen und kann bereits mit den Vorkenntnissen des Mathematikunterrichts ab Klasse 9 verstanden werden. Hierzu wird eine Unterrichtsequenz vorgestellt.

© Friedrich Verlag
Nach einer Vorlage von D. Sommerhoff.
Daten öffentlich speichern, um sie zu schützen? Blockchains und Hashfunktionen
Friedrich+ Kennzeichnung Schuljahr 8-13

Auch bei den Lernenden stellen Kyptowährungen und Blockchains zunehmend wichtige Themen dar. Trotzdem ist deren Funktionsweise meist unbekannt. Der Artikel erläutert die Kryptowährungen zugrundeliegenden Konzepte von Blockchain und Hashfunktion. In einer Unterrichtseinheit, die viel Potenzial zur Vertiefung des Funktionsbegriffs und für fächerübergreifenden Unterricht bietet, liegt der Fokus auf der selbstständigen Generierung und Manipulation von Hashfunktionen.

Screenshot: www.geogebra.org
Wenn sich eine Streckung als Verschiebung entpuppt ...
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 9-12

Mit Blick auf schulisch relevante reelle Funktionenklassen werden zwei Translationsparameter und zwei Streckparameter betrachtet. Dabei gilt das Interesse möglichen wechselseitigen Abhängigkeiten, die ihrerseits mit der spezifischen Geometrie der untersuchten Funktionsgraphen korrelieren. Für die Klasse quadratischer Funktionen wird die wechselseitige Abhängigkeit der beiden Streckparameter und damit die Relativität der etablierten Sprechweisen „gestaucht“ oder „gestreckt“ exemplarisch aufgezeigt. Dem Gedanken der möglichen „Überflüssigkeit“ eines Parameters folgend, wird zur Klasse von Exponentialfunktionen die bereits im Titel des Beitrags angedeutete wechselseitige Abhängigkeit herausgearbeitet, die nun einen der Translationsparameter und einen der Streckparameter betrifft.

Bild: http://qamacalculator.com
Mathe digital: Was geht App?! Ein Taschenrechner mit Denkzwang
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (< 45 Min) Schuljahr 5-13

Die Nutzung des Taschenrechners führt oft dazu, dass Lernende nicht mehr im Kopf rechnen können. Der Artikel stellt Ideen für den unterrichtlichen Einsatz der nützlichen App QAMA (Quick Approximate Mental Arithmetic) vor, die die Lösung einer Rechnung nur verrät, wenn man sie zuvor richtig schätzt. Die Lernenden sind gezwungen, im Kopf den Überschlag mitzurechnen. QAMA ist als App und auch als „richtiger“ Taschenrechner erhältlich. Natürlich ist es möglich, die „Sperre“ auszuschalten und den Taschenrechner normal einzusetzen.

Foto: Stefan Klafke/Ronald Hild
Erlebte Winkel
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 5-7

Der Beitrag skizziert verschiedene Spielideen, mit denen sich Lernende durch aktives und konkretes Handeln ein Verständnis des Winkelbegriffs erarbeiten. Die Ideen umfassen dabei verschiedene Sozialformen, ermöglichen Binnendifferenzierung und geben Anhaltspunkte für Progression. Die Ideen richten sich an die Klassenstufen 5. und 6. und können sowohl in einer Stunde, als auch in einer Doppelstunde genutzt werden.