Keine Magie – Terme und Variablen verstehen

Keine Magie – Terme und Variablen verstehen

Mathematik 5-10 | Ausgabe Nr. 41/2017

Die Algebra wird meistens als eher trockenes Thema im Mathematikunterricht empfunden, ohne Bezug zur Lebenswelt der Kinder. Sie scheint ein System von strengen Regeln ohne Sinn zu sein, an die man sich strikt halten muss.

Das Anliegen dieses Heftes ist es, den Schülerinnen und Schülern Variablen, Terme und Gleichungen in ihrer Bedeutung verständlich nahezubringen, sodass sie damit verständnisvoll und ohne Frust umgehen können – einerseits im Rahmen von Modellierungsaufgaben, d. h. beim Beschreiben und Bearbeiten von Problemen in Sachsituationen, andererseits im Rahmen innermathematischer Fragen, etwa wenn es darum geht, Terme aufzustellen, umzuformen, Gleichungen zu lösen oder Regeln zu finden.

Inhaltsverzeichnis
Variablen haben viele Gesichter Zum Thema: Was ist denn jetzt x?
Friedrich+ Kennzeichnung Methode & Didaktik Schuljahr 5-10

Der Umgang mit Variablen, Termen und Gleichungen fällt den meisten Schülerinnen und Schülern sehr schwer. So wird die Algebra eher als trockenes Thema im Mathematikunterricht empfunden, ohne Bezug zur Lebenswelt der Kinder. Sie scheint ein System von strengen Regeln ohne Sinn zu sein, an die man sich strikt halten muss.
Das Anliegen dieses Heftes ist es, den Schülerinnen und Schülern Variablen, Terme und Gleichungen in ihrer Bedeutung verständlich nahezubringen, sodass sie damit verständnisvoll und ohne Frust umgehen können – einerseits im Rahmen von Modellierungsaufgaben, d. h. beim Beschreiben und Bearbeiten von Problemen in Sachsituationen, andererseits im Rahmen innermathematischer Fragen, etwa wenn es darum geht, Terme aufzustellen, umzuformen, Gleichungen zu lösen oder Regeln zu finden.

Formeln für die Umfangsberechnung verständnisorientiert umstellen Das ist ja nur der Rückwärtsweg!
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 5-6

Häufig meinen die Lernenden, verschiedene Formeln zum gleichen Sachverhalt müssten auswendig gelernt werden. Ihnen ist bis dahin oft nicht klar, dass hinter jeder Formel ein Rechenweg steht, der nachvollzogen werden kann, und dass letztlich die Formel die kürzeste Darstellung des Rechenweges ist.
Den Schülerinnen und Schülern kann in der Auseinandersetzung mit Aufgaben im Themenbereich "Umfang bei Rechtecken" klar werden, dass sie durch Umkehraufgaben, die sie aus den Grundrechenoperationen der Grundschule kennen, gesuchte Größen leicht berechnen können. Deutlich wird dabei, dass eine einzige Formel ausreicht, um alle Aufgabenformate zu einem Sachverhalt lösen zu können. Wenn diese dann noch verständnisorientiert eingeführt wurde, sind die Chancen groß, dass die Lernenden in der Lage sind, langfristig gewinnbringend in vielfältigen Aufgaben damit umzugehen.

Verschiedene Muster erkennen und durch Terme beschreiben ... und bei 100 Dreiecken?
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 7-8

Die vorgestellte Unterrichtssequenz besteht aus vier Stationen, die alle unabhängig voneinander zu bearbeiten sind, die aber im Schwierigkeitsgrad von Station 1 zu Station 4 deutlich anwachsen. Die Stationen 1 und 2 liegen zudem in jeweils zwei Varianten vor, eine für Regelschülerinnen und -schüler, die andere für Lernende mit Förderbedarf. In allen Stationen geht es darum, zu vorgegebenen Mustern aus Hölzchen, die sich in einzelnen Schritten immer weiter aufbauen, passende Terme für die Anzahl der benötigten Hölzer aufzustellen.

Das Geheimnis von Zahlentricks verstehen Welche Zahl hast du im Kopf?
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 7-8

Die Schülerinnen und Schüler erleben in dieser Stunde Variablen und Terme als unerlässliche Hilfsmittel, um sich als „Zauberer“ auch wirklich sicher sein zu können, dass ein Zahlentrick unabhängig von der gewählten Ausgangszahl immer funktioniert. Hierdurch entsteht bei vielen Lernenden die Motivation, auch in Zukunft Variablen einzusetzen und sich auch komplexeren Termumformungen nicht zu verschließen.

Handys zur Wiederholung und Festigung von Wissen nutzen Kahoot – Eine Frage-Antwort-App
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 7-8

Kahoot ist ein kostenfreies und webbasiertes Quiz- und Umfrage- Tool. Damit können sowohl Unterrichtsinhalte spielerisch wiederholt und abgefragt, als auch Umfragen, Feedbacks oder Diskussionen selbst erstellt werden, die dann entsprechend in den Unterricht eingebaut werden können. Besonders wirksam in Bezug auf das Wiederholen und Festigen von behandelten Themen ist die Tatsache, dass die Lernenden auch selbständig Kahoot- Fragen erstellen können. Durch das Formulieren und Beantworten geeigneter Fragen, sind sie angehalten, sich mit dem entsprechenden Inhalt intensiv auseinanderzusetzen. Auch das Finden falscher Antworten ist nicht ganz einfach.

Vorstellungen zu Variablen, Termen und Gleichungen aufbauen Schachteln und Hölzchen
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 7-8

Beim Einstieg in die Algebra ist es wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler die Bedeutung von Variable, Term und Gleichung verstehen. Im Boxenmodell (aus dem Schweizer Schulbuch „mathbuch“) arbeiten die Schülerinnen und Schüler mit Streichholzschachteln und Hölzchen. Die Schachteln symbolisieren Variablen. Es sind Leerstellen, in welche jeweils eine Anzahl Hölzchen gelegt werden kann.

Durch die Verknüpfung von Handlung, Bild, Wertetabelle, Gleichung und Text bauen die Lernenden Grundvorstellungen zu Variable, Term und Gleichung auf. Die Rätselaufgaben sind, algebraisch betrachtet, Gleichungen mit zwei Unbekannten. Dadurch sind sie nicht eindeutig lösbar. Der Term wird somit zu einer Verallgemeinerung der beschriebenen Beziehung.

Die Bedeutung von Variablen in Volumenformeln erfahren Was passiert, wenn …?
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 9-10

Im Mathematikunterricht in höheren Jahrgangsstufen kann man oft feststellen, dass der Begriff der Variablen stark mit dem formalen Lösen und mit Lösungsverfahren von Gleichungen in Verbindung gebracht wird. Selten denken die Schülerinnen und Schüler darüber nach, was tatsächlich hinter dem Begriff der Variable steckt, welche Veränderungen hinter einer Variable stecken und welche Auswirkungen eine Variable in einem bestimmten Zusammenhang haben kann. Eine Möglichkeit, die Lernenden auch oder sogar besonders in dieser Hinsicht zum Nachdenken zu bewegen, ergibt sich, wenn am konkreten Beispiel Aufgaben im Bereich der Raumgeometrie bearbeitet werden. Nach Abschluss der Volumenberechnung der Kugel, die als letzter geometrische Körper in der Schule behandelt wird, kann die vorgestellte Unterrichtseinheit  deutlich machen, welche Auswirkungen eine Veränderung der Grundkantenlänge bei Pyramiden mit quadratischer Grundfläche bzw. eine Veränderung des Radius bei Kegeln oder Kugeln auf das Volumen der jeweiligen Körper hat.

Mathematische Inhalte für andere verständlich machen Mathemagie erklären
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 9-10

Die vorgestellte Unterrichtseinheit stellt einen lohnenden Exkurs dar, um die Grundlagen der Algebra in den höheren Klassenstufen noch einmal zu wiederholen und gleichzeitig ein Bewusstsein für gute Erklärungen zu schaffen. Das Erstellen der Videos bietet einen zusätzlichen Anreiz für eine präzise Ausarbeitung der einzelnen Erklärungsschritte und sorgt darüber hinaus für die aktive Einbeziehung aller Lernenden in den Unterricht.

Umkehraufgabe mit Entdeckerpotential Von der Lösung zur Gleichung
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 9-10

In der Unterrichtseinheit „Quadratische Gleichungen“ geht es in erster Linie natürlich um das Lösen von Gleichungen. Neben den gängigen Routine-Aufgaben sind hier allerdings Umkehraufgaben besonders gewinnbringend: Die Lösung ist bekannt, während die Gleichung und der Lösungsweg unbekannt sind. Interessant ist, dass dabei beide Variablenkonzepte genutzt werden: Zu Beginn tritt die Variable x als Unbekannte innerhalb der Gleichung auf. Wird die Aufgabe aber geöffnet, werden Variablen auch als Unbestimmte genutzt. Sie markieren den Übergang von einer konkreten Gleichung zur allgemeinen Form der quadratischen Gleichung.

Fortbildung: Hürden im Umgang mit Variablen, Termen und Gleichungen
Friedrich+ Kennzeichnung Methode & Didaktik Schuljahr 5-10

Algebra versteht sich im hier dargelegten Kontext als Hilfsmittel, um quantifizierbare Beziehungen allgemein zu beschreiben. Algebra ist die Sprache der Verallgemeinerungen. Es geht, im Gegensatz zur Arithmetik, nicht um ein Operieren mit einzelnen Zahlen, sondern um das Beschreiben von Beziehungen und Veränderungen. Dabei ist die Vernetzung von Umgangssprache und algebraischer Sprache bedeutsam. Werden nur Rezepte oder unverstandene formale Beschreibungen wiedergegeben, ohne dass der Sachverhalt wirklich verstanden ist, wird die Sprache zu einer Verständnishürde.
In diesem Artikel werden drei verschiedene didaktische Herausforderungen beschrieben:
- Variablen verstehen
- Das Gleichheitszeichen verstehen
- Zwei Sichtweisen auf Algebra

Der Termbaukasten
Friedrich+ Kennzeichnung Methode & Didaktik Schuljahr 5-10

Der Termbaukasten ist ein System aus Trinkhalmen in unterschiedlichen Längen und Farben, Pfeifenreinigerstücken zum Zusammenstecken der Trinkhalme, Quadratzentimeterplättchen zum Auslegen von Flächen und Kubikzentimeterwürfeln zum Ausfüllen von Volumina. Zu diesem Material gibt es vierfach differenzierte Aufgabenkarten, die auf der Rückseite jeweils die Lösung enthalten und somit das eigenständige Arbeiten ermöglichen.
Die Aufgaben unterstützen in den Klassen 5 und 6 den Aufbau von Grundvorstellungen zu Flächen- und Rauminhalten. In den Klassen 7 und 8 werden diese Größen genutzt – Länge und Umfang beim Addieren und Zusammenfassen, Flächen- und Rauminhalt beim Multiplizieren – um Terme aufzustellen, zu interpretieren und Darstellungswechsel durchzuführen.