GILBERT GREEFRATH, STANISLAW SCHUKAJLOW

Wie Modellieren gelingt

GILBERT GREEFRATH, STANISLAW SCHUKAJLOW

Alltagsfragen im Mathematikunterricht sind immer wieder spannend und motivierend. Und sie sind eine Herausforderung für Lernende und Lehrende: Sachkontexte sind schnell sehr komplex und es gibt nicht „die eine Lösung. All das braucht Übung und Zeit. Wie kann Modellieren im Unterricht organisiert werden? Wie finde ich gute Modellierungsaufgaben? Man kann im Kleinen beginnen und sich dann auch an größere Modellierungsprojekte wagen.

Der Kern mathematischen Modellierens ist zunächst das Übersetzen eines Problems aus der Realität in die Mathematik, dann das Arbeiten mit mathematischen Methoden und schließlich das kritisch-prüfende Übertragen der mathematischen Lösung auf das reale Problem.
In diesem Artikel beschreiben wir Modellierungsprozesse, skizzieren Schwierigkeiten von Lernenden und geeignete Hilfen beim Modellieren. Wir diskutieren Organisationsformen schulischer und außerschulischer Modellierungsaktivitäten, erläutern verschiedene Typen von Modellierungsaufgaben und stellen Bewertungsmöglichkeiten für Schülerlösungen vor.
Teilschritte beim Modellieren
Beim Bearbeiten einer Modellierungsaufgabe können bewusst und unbewusst verschiedene Prozesse stattfinden, wie das Beispiel zur Baustellenampel (Kasten 1) zeigt.
Kasten 1: Die Baustellenampel: Blick auf eine Modellierungsaufgabe
Kasten 1: Die Baustellenampel: Blick auf eine Modellierungsaufgabe
An einer etwa 1 km langen Baustelle wird der Verkehr einspurig vorbeigeleitet und mithilfe einer Baustellenampel geregelt. Wie sollte die Baustellenampel geschaltet werden, damit der Verkehr gut fließt?
Im ersten Schritt gilt es, wichtige Informationen zu erkennen und fehlende Informationen zu beschaffen oder erforderliche Annahmen zu treffen. Welche Annahmen sind „erforderlich? Hier sind unterschiedliche Ideen und Ansätze möglich, wie etwa die folgenden:
Ansatz 1: Blick auf das Verkehrsaufkommen
Für das tägliche Verkehrsaufkommen in jede Richtung an der Baustelle wird eine Annahme gemacht und daraufhin geschätzt, wie hoch die geeignete Verkehrsfrequenz (Autos pro Minute) an der Baustelle ist. Legt man sinnvoll fest, wie schnell die Autos fahren dürfen und schätzt man, wie groß die Abstände zwischen den Autos und die Längen der Fahrzeuge sind, kann man geeignete Rot- und Grünphasen festlegen.
Ansatz 2: Blick auf die Grünphase
Ausgehend von einer zunächst angenommenen Grünphase, wird überlegt, wie viele Autos dann in diese Richtung an der Baustelle vorbeifahren können. Die Annahmen könnten hier z.B. darin bestehen, dass die vorgeschriebene Höchstgeschwindigkeit im Baustellenbereich 50 km/h sein müsste und die Gelbphase der Ampel 3 Sekunden dauern soll. Hier können natürlich auch andere Annahmen (etwa 20 km/h und 2 Sekunden) sinnvoll sein.
Weitere Überlegung
Mit diesen Annahmen exemplarisch nutzen wir die aus Ansatz 2 überlegen wir nun weiter, wie viele Autos die Baustelle in einer bestimmten Zeit in eine Richtung passieren können. Hier spielt der Abstand zwischen den Autos eine wichtige Rolle. Dieser kann als Brems- und Reaktionsweg detailliert bestimmt werden, könnte aber auch pauschal etwa mit 15 Metern abgeschätzt werden. Ein Auto braucht für den Weg durch die Baustelle etwa 75 Sekunden (1 km : 50 km/h = 72 Sek.) ggf. zuzüglich der notwendigen Zeit für die Beschleunigung „aus dem Stand. Plant man für eine Richtung an der Baustelle etwa 3 Minuten ein, so müsste man zweimal ca. 75 Sekunden für das Durchfahren des ersten bzw. letzten Autos reservieren. Wäre die Ampel also 1 Minute und 45 Sekunden grün, würde es 75 Sekunden dauern, bis das erste Auto an der anderen Seite ankommt. Dann wären noch 30 Sekunden Zeit für
$$\left (\frac{50000\mathrm{m}}{3600\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{k}.}\cdot \frac{30\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{k}.}{20\mathrm{m}}\approx \right )\mathrm{~ 20~ Autos}$$
Die letzten 75 Sekunden müsste die Ampel dann bereits rot sein, damit die Straße wieder frei...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 207 / 2018

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Friedrich+ Kennzeichnung Methode & Didaktik Schuljahr 5-13